Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng là một trong những dạng toán được sự quan tâm của khá nhiều bạn. Đồng thời cũng là 1 trong những dạng toán được vận dụng tương đối nhiều trong quy trình viết phương trình đường thẳng. Để làm được bài toán dạng này bây giờ thầy xin share cùng chúng ta một số phương thức làm như sau:

*

Phương pháp tìm kiếm hình chiếu vuông góc của điểm xuất hành thẳng

Bài toán: khẳng định hình chiếu $H$ của điểm $M$ trên tuyến đường thẳng $d$.

Bạn đang xem: Tọa độ hình chiếu của 1 điểm trên 1 đường thẳng

Cách 1:

Bước 1: Lập phương trình mặt đường thẳng $d’$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$. Khi đó $d’$ thỏa mãn: đi qua điểm $M$ vẫn biết cùng nhận VTPT của $d$ làm cho VTCP mang lại mình.

Bước 2: tìm kiếm giao của đường thẳng $d$ và mặt đường thẳng $d’$. Giao điểm đó đó là tọa độ của hình chiếu $H$.

Cách 2:

Giả sử đường thẳng $d$ cho dưới dạng tổng quát: $Ax+By+C=0$. Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: call tọa độ điểm $H$ là: $H(x_H;y_H)$ với tìm vectơ chỉ phương của $d$ là $vecu_d$;

Bước 2: Tính $vecMH$

Bước 3: Vectơ $vecMH ot vecu_d Leftrightarrow vecMH.vecu_d=0$ (1)

Bước 4: vì chưng $Hin d Rightarrow Ax_H + By_H + C=0$ (2)

Bước 5: từ (1) và (2) ta có hệ. Giải hệ này tìm kiếm được tọa độ của $H$.

Cách 3:

Giả sử con đường thẳng $d$ đến dưới dạng tham số: $left{eginarraylx=x_0+at\y=y_0+btendarray ight.$ $tin R$

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: hotline $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ phát xuất thẳng $d$. Khi ấy $Hin d$. Do đó tọa độ của điểm $H(x_0+at;y_0+bt)$. Suy ra tọa độ của $vecMH$

Bước 2: vày $MHot d Leftrightarrow vecMH ot vecu_dLeftrightarrow vecMH.vecu_d=0$. Từ đây ta sẽ kiếm được $t$ với tọa độ của điểm $H$.

Chú ý:

1. Nếu như điểm $M(x_0;y_0)$, khi đó tọa độ hình chiếu $H$ của $M$ trên:

Ox sẽ sở hữu tọa độ là $H(x_0;0)$Oy sẽ sở hữu tọa độ là $H(0;y_0)$

2. Nếu điểm $M otin d$ mà bài toán yêu thương cầu: “Tìm tọa độ điểm $Hin d$ sao để cho $MH$ ngắn độc nhất vô nhị thì tương tự với vấn đề tìm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ bên trên $d$.

Xem thêm: Cách Tìm Tiệm Cận Của Hàm Số Chính Xác 100%, Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số Lớp 12

Tìm tọa độ điểm thỏa mãn nhu cầu điều kiện cho trước

Tìm tọa độ 3 đỉnh biết tọa độ chân mặt đường cao của tam giác

Bài tập áp dụng

Bài tập 1:

Cho điểm $M(3;-1)$ và con đường thẳng $d$ tất cả phương trình: $3x-4y+12=0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của điểm $M$ xuất xứ thẳng $d$. Từ đó suy ra tọa độ của điểm $M_1$ là điểm đối xứng cùng với $M$ qua con đường thẳng $d$.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: 

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng $d’$ qua điểm $M$ và vuông góc với mặt đường thẳng $d$:

Vì $d’ ot d$ yêu cầu phương trình mặt đường thẳng $d’$ bao gồm dạng: $4x+3y+C=0$

Vì điểm $M(3;-1) in d’$ bắt buộc tọa độ của điểm $M$ thỏa mãn:

$4.3+3.(-1)+C=0 Leftrightarrow C=-9$

Vậy phương trình đường thẳng $d’$ là: $4x=3y-9=0$

Bước 2: kiếm tìm tọa độ điểm $H$ là giao điểm của $d$ với $d’$ cùng là nghiệm của hệ sau:

$left{eginarrayl3x-4y+12=0\4x+3y-9=0endarray ight.Leftrightarrow left{eginarraylx=0\y=3endarray ight.$

Vậy tọa độ hình chiếu $H$ là: $H(0;3)$

Bước 3: kiếm tìm tọa độ điểm $M_1$ là điểm đối xứng của điểm $M$ qua $d$

Vì $M_1$ là điểm đối xứng của điểm $M$ qua đường thẳng $d$ bắt buộc $H$ đang là trung điểm của $MM_1$. điện thoại tư vấn tọa độ của điểm $M_1(x_M_1;y_M_1)$, theo biểu thức tọa độ liên quan tới trung điểm ta có:

$left{eginarraylx_M+x_M_1=2x_H\y_M+y_M_1=2y_Hendarray ight.Leftrightarrowleft{eginarrayl3+x_M_1=2.0\-1+y_M_1=2.3endarray ight.Leftrightarrowleft{eginarraylx_M_1=-3\y_M_1=7endarray ight.$

Vậy tọa độ của điểm $M_1$ là: $M_1(-3;7)$

Cách 2:

Bước 1:

Giả sử $H(a;b) Rightarrow vecMH(a-3;b+1)$

$vecu(4;3)$ là vectơ chỉ phương của $d$

Vì $MHot d$ đề xuất ta có: $vecMHot vecuLeftrightarrow vecMH.vecu=0Leftrightarrow 4(a-3)+3(b+1)=0Leftrightarrow 4a+3b-9=0$ (1)

Bước 2:

Vì điểm $H(a;b) in d$ nên ta có: $3a-4b+12=0$ (2)

Bước 3:

Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ tạo vày (1) và (2), ta có:

$left{eginarrayl 4a+3b-9=0\3a-4b+12=0endarray ight.Leftrightarrowleft{eginarrayl a=0\b=3endarray ight.$

Vậy tọa độ của điểm $H$ là: $H(0;3)$

Cách 3: 

Bước 1: chuyển $d$ về phương trình tham số

Lấy 1 điểm bất cứ thuộc $d$ là: $A(0;3)$Vectơ chỉ phương của $d$ là: $vecu(4;3)$Phương trình tham số của $d$ là:$left{eginarraylx=4t\y=3+3tendarray ight.$ $tin R$

Bước 2:

Vì điểm $Hin d$ yêu cầu ta gồm tọa độ của $H$ là: $H(4t;3+3t)Leftrightarrow vecMH(4t-3;3t+4)$

Vectơ chỉ phương của $d$ là: $vecu(4;3)$

Vì $MHot d Leftrightarrow vecMH.vecu=0Leftrightarrow 4(4t-3)+3(3t+4)=0Leftrightarrow t=0$