Góc giữa hai tuyến đường thẳng trong ko gian

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không khí là gì?

Trong không khí cho 2 con đường thẳng a, b bất kỳ. Xuất phát điểm từ một điểm O nào kia ta vẽ 2 đường thẳng a’, b’ lần lượt song song cùng với a cùng b. Ta nhận ra rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 con đường thẳng a và b không cụ đổi.

Bạn đang xem: Tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian

*

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng trong không khí là góc thân 2 con đường thẳng thuộc đi qua 1 điểm với lần lượt tuy vậy song với hai đường thẳng vẫn cho.

2. Cách xác định góc giữa hai tuyến phố thẳng

Ngoài bài toán làm như vào định nghĩa, để khẳng định góc thân 2 mặt đường thẳng a cùng b ta hoàn toàn có thể lấy điểm O thuộc 1 trong các hai con đường thẳng kia rồi vẽ một con đường thẳng qua O và tuy vậy song với con đường thẳng còn lại.

*

Hoặc ta rất có thể sử dụng tích vô hướng:

Nếu (overrightarrowu) là vecto chỉ phương của đường thẳng a và (overrightarrowv) là vecto chỉ phương của con đường thẳng b và (left( overrightarrowu;overrightarrowv ight)=alpha ) thì góc giữa 2 con đường thẳng a với b bằng (alpha ) nếu như (0le alpha le 90^circ ) và bởi (180^circ -alpha ) ví như (90^circ giả dụ 2 con đường thẳng a với b tuy nhiên song hoặc trùng nhau thì góc thân chúng bởi (0^circ ). Góc thân 2 mặt đường thẳng là góc tất cả số đo (0le alpha le 90^circ ).

3. Cách tính góc giữa hai tuyến đường thẳng

Để tính được góc giữa hai tuyến phố thẳng trong ko gian, nếu xác minh (dựng) được góc giữa hai tuyến đường thẳng trong không khí và gắn chúng nó vào một tam giác ví dụ thì có thể sử dụng những hệ thức lượng trong tam giác để tìm số đo của góc đó:

Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC: (cos widehatBAC=fracAB^2+AC^2-BC^22.AB.AC)Tương tự ta có: (cos widehatABC=fracBA^2+BC^2-AC^22.BA.BC) với (cos widehatACB=fracCA^2+CB^2-AB^22.CA.CB)Chú ý: (overrightarrowAB.overrightarrowAC=AB.ACcos widehatBAC=frac12left( AB^2+AC^2-BC^2 ight))

Ngoài ra, để tính góc thân hai véc-tơ $vecu, vecv $ bọn họ sử dụng khái niệm tích vô hướng: $$vecu . vecv = |vecu|.|vecv|.cos(left( overrightarrowu;overrightarrowv ight)$.

Tính góc giữa hai tuyến phố thẳng AB và CD ta tính góc thân hai vectơ (overrightarrowAB) và (overrightarrowCD) nhờ vào công thức (cos left( overrightarrowAB;overrightarrowCD ight)=fracoverrightarrowAB.overrightarrowCDleftRightarrow cos left( AB;CD ight)=frac overrightarrowAB.overrightarrowCD ight overrightarrowCD ight) từ kia suy ra góc giữa hai tuyến phố thẳng AB với CD.

4. Bài bác tập góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Ví dụ 1. Cho hình lập phương $A B C D cdot A^prime B^prime C^prime D^prime$ có cạnh là $a$. Tính góc giữa các cặp con đường thẳng sau đây:

$A B$ với $A^prime D^prime$.$A D$ và $A^prime C^prime$.$B C^prime$ cùng $B^prime D^prime$.

Lời giải.

*

Ta tất cả $A^prime D^prime / / A D$ đề nghị $left(A B, A^prime D^prime ight)=(A B, A D)=widehatB A D=90^circ$.Ta có $A^prime C^prime / / A C$ buộc phải $left(A D, A^prime C^prime ight)=(A D, A C)=widehatD A C=45^circ$.Ta bao gồm $B^prime D^prime / / B D$ buộc phải $left(B C^prime, B^prime D^prime ight)=left(B C^prime, B D ight)=widehatD B C^prime$.Ta gồm $B D=B C^prime=C^prime D=A B sqrt2$ nên $ riangle B D C^prime$ dều, suy ra $widehatD B C^prime=60^circ$.Vậy $left(B C^prime, B^prime D^prime ight)=60^circ$.

Ví dụ 2. cho hình chóp $S . A B C$ gồm $S A=S B=S C=A B=A C=a sqrt2$ với $B C=2 a$. Tính góc giữa hai tuyến đường thẳng $A C$ cùng $S B$.

Lời giải.

*

Ta gồm $S A B$ với $S A C$ là tam giác đều, $A B C$ và $S B C$ là tam giác vuông cân nặng cạnh huyền $B C$.Gọi $M, N, P$ thứu tự là trung điểm của $S A, A B, B C$, ta có $M N / / S B, N p. / / A C$ đề nghị $(A C, S B)=(N P, M N)$.

eginaligned&M N=fracS B2=fraca sqrt22, N P=fracA C2=fraca sqrt22 . \&A P=S P=fracB C2=a, S A=a sqrt2endaligned

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC gồm đáy là tam giác phần nhiều cạnh a, (SAot left( ABC ight)) với (SA=asqrt3). Hotline M, N theo thứ tự là trung điểm của AB với SC. Tính cosin góc giữa hai tuyến phố thẳng AN và CM.

Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra (AM=CE=fraca2).

*

Khi đó (AE//CMRightarrow left( widehatAE;CM ight)=left( widehatAN;AE ight)=varphi .)

Mặt không giống (SC=sqrtSA^2+AC^2=2aRightarrow ) độ dài đường trung đường AN là (AN=fracSC2=a.AE=CM=fracasqrt32.)

Do (Delta ABC) đều đề nghị (CMot AMRightarrow ) AMCE là hình chữ nhật.

Khi kia (CEot AE) mà lại (CEot SARightarrow CEot left( SAE ight)Rightarrow CEot SE.)

(Delta SEC) vuông tại E bao gồm đường trung đường (EN=frac12SC=a.)

Ta có: (cos widehatNAE=fracAN^2+AE^2-NE^22.AN.AE=fracsqrt34>0Rightarrow cos varphi =fracsqrt34.)

Cách 2: Ta có: (overrightarrowAN=frac12left( overrightarrowAS+overrightarrowAC ight);overrightarrowCM=overrightarrowAM-overrightarrowAC=frac12overrightarrowAB-overrightarrowAC.)

Khi đó (overrightarrowAN.overrightarrowCM=frac12left( overrightarrowAS+overrightarrowAC ight)left( frac12overrightarrowAB-overrightarrowAC ight)=frac14overrightarrowAB.overrightarrowAC-frac12AC^2=frac14a^2cos 60^circ -fraca^22=frac-3a^28.)

Lại có: (AN=fracSC2=a;CM=fracasqrt32Rightarrow cos varphi =frac frac-3a^28 ighta.fracasqrt32=fracsqrt34.)

Bình luận: phụ thuộc hai giải pháp làm bên trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công vậy vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng giúp câu hỏi trở bắt buộc dễ ràng hơn siêu nhiều!.

Ví dụ 4.

Xem thêm: Công Thức Tính Bán Kính Mặt Cầu Ngoại Tiếp Hình Chóp Đều, Hình Chóp Tứ Giác Đều

 Cho hình chóp S.ABC có (SA=SB=SC=AB=a;AC=asqrt2) cùng (BC=asqrt3). Tính cosin góc giữa hai tuyến đường thẳng SC với AB.

*

Cách 1: gọi M, N, p lần lượt là trung điểm của SA, SB và AC. Khi đó (left{ eginalign

& MP//SC \

& N//AB \

endalign ight.Rightarrow left( widehatSC;AB ight)=left( widehatMP;MN ight).)

Ta có: (MN=fracAB2=fraca2;MP=fracSC2=fraca2.)

Mặt không giống (Delta SAC) vuông tại S (Rightarrow SP=fracAC2=fracasqrt22.)

(BP^2=fracBA^2+BC^22-fracAC^24=frac32a^2Rightarrow BP=fracasqrt62.)

Suy ra (PN^2=fracPS^2+PB^22-fracSB^24=frac3a^24Rightarrow NP=fracasqrt32.)

Khi kia (cos widehatNMP=fracMN^2+MP^2-NP^22.MN.MP=-frac12Rightarrow widehatNMP=120^circ Rightarrow varphi =left( widehatSC;AB ight)=60^circ .)

Cách 2: Ta có: (overrightarrowAB=overrightarrowSB-overrightarrowSARightarrow overrightarrowAB.overrightarrowSC=left( overrightarrowSB-overrightarrowSA ight).overrightarrowSC=overrightarrowSB.overrightarrowSC-overrightarrowSA.overrightarrowSC)

(=frac12left( SB^2+SC^2-AC^2 ight)-frac12left( SA^2+SC^2-AB^2 ight)=-fraca^22.)

Suy ra (cos left( SC;AB ight)=fraclefta.a=frac12Rightarrow left( SC;AB ight)=60^circ .)