Nguyên hàm từng phần là một phương pháp giải những bài toán nguyên hàm nâng cao hiệu quả độc nhất vô nhị hiện nay. Nội dung bài viết này được soạn với ước ao muốn khiến cho bạn hiểu rộng về phương pháp này.

Bạn đang xem: Nguyên hàm từng phần nâng cao


A. Công thức nguyên hàm từng phần

Công thức tổng thể là:

*

B. Bài toán

Hãy tính nguyên hàm của hàm f(x) bao gồm dạng như sau:

*

Lời phía dẫn

Bước 1: Ta thực hiện đặt

*

(v(x) là 1 trong những nguyên hàm của h(x))

Bước 2: lúc này, nguyên hàm lúc đầu sẽ trở thành

*

Để bạn hiểu rộng về những bước trên, ta cùng mọi người trong nhà vào ví dụ sau:

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm số tất cả dạng sau f(x) = lnx

Lời giải

Dựa theo phương thức trên, ta làm như sau

Bước 1: Đầu tiên ta cần đặt

*

Khi đó:

*

C. Những dạng toán nguyên hàm từng phần thường gặp

Dạng 1: tra cứu nguyên hàm của hàm số logarit

Hãy tính nguyên hàm của hàm số logarit sau

*

với f(x) là 1 hàm của nhiều thức.

Phương pháp giải

Bước 1: Ta thực hiện đặt

*
Bước 2: nhờ vào việc đặt tại trên, ta suy ra

*

Để bạn nắm rõ hơn về dạng này, chúng ta cùng nhau làm 1 ví dụ dưới đây nhé:

Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.lnx

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương thức giải sinh hoạt trên bạn dễ thấy

*

Bước 1: Ta triển khai đặt biểu thức dạng

*

Bước 2: Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

*

Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm số nón $A = int fleft( x ight)e^ax + bdx $ với f(x) là một trong hàm nhiều thức.

Phương pháp:

Bước 1: Ta thực hiện đặt

*

Bước 2: nhờ vào việc đặt tại bước 1, ta có: $int fleft( x ight)e^ax + bdx = uv – int vdu $

Để hiểu hơn về dạng toán này, ta bên nhau xem ví dụ sau đây

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của biểu thức sau $I = int xe^x mdx $

Lời giải

Dựa theo cách thức trên, ta triển khai đặt

*

Theo cách làm tính nguyên hàm từng phần, ta có:

*

Dạng 3: Hàm con số giác và hàm đa thức

Hãy tính nguyên hàm của hàm con số giác hoặc

Hướng dẫn giải

Bước 1: Ta thực hiện đặt như sau

*

Bước 2: dựa vào việc đặt tại bước 1, ta chuyển đổi thành

*

Để hiểu hơn ví dụ này, ta cùng mọi người trong nhà xem ví dụ sau đây.

Xem thêm:
Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua 3 Điểm Chi Tiết, Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua 3 Điểm A(1

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của các chất giác sau $A = int xsin xdx $

Lời giải

Đây là 1 nguyên hàm phối hợp giữa nguyên hàm vị giác, các bạn hãy làm như sau:

Dựa theo cách thức trên, ta để như sau

*

Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có:

*

Dạng 4: Hàm con số giác cùng hàm số mũ

Hãy tình nguyên hàm phối hợp giữa hàm số lượng giác cùng hàm số mũ

*

Các bước giải như sau:

Bước 1: Ta thực hiện đặt như sau

*

Bước 2: lúc đó, nguyên hàm công thêm theo công thức bao quát $uv – int vdu $

Lưu ý: Đây là dạng toán phức hợp nên cần lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Ko kể ra, ở bước 1 ta hoàn toàn có thể đặt không giống chút bằng phương pháp đặt

*

Để giúp bạn hiểu hơn dạng toán này, mời chúng ta theo dõi một lấy ví dụ như đưới dây nha:

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của nhị hàm là hàm vị giác với hàm e mũ tiếp sau đây $I = int sin x.e^x mdx $

Phương pháp giải

Đây là một nguyên hàm phối kết hợp giữa nguyên hàm lượng giác, nguyên hàm của e nón u. Các bạn hãy làm như sau:

Ta thực hiện đặt như sau

*

Khi đó, nguyên hàm trở thành:

*

Lúc này ta tính: $J = int cos xe^xdx $

Để tính được J, bạn cần lấy nguyên hàm từng phần lần 2. Rõ ràng là

Đặt như sau

*

Khi đó:

*

Trên đây là bài viết chia sẻ biện pháp dùng nguyên hàm từng phần giải những bài bác nguyên hàm phức tạp. Hy vọng bài viết này bổ ích với chúng ta trong quá trình học tập.