1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K ví như F"(x) = f(x) với đa số x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của e^u

2. đặc thù nguyên hàm

Nguyên hàm gồm 3 tính chất quan trọng cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các phương thức tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương thức ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm

a) Đổi thay đổi tổng quát

Bước 1: chọn t = φ(x). Trong các số ấy φ(x) là hàm số cơ mà ta chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân hai về dt = φ"(x)dxBước 3: thể hiện f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: lúc ấy $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = – 3sinx.dxBước 3: biểu thị $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: khi ấy $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến dạng 1

*

c) Đổi biến tấu 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để đặt u và dv: tìm được v tiện lợi và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: sản phẩm tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, nhị đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm đa thức, các chất giác, hàm mũ).

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Cách tính nguyên hàm bằng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy tra cứu f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình đang hướng dẫn bí quyết bấm máy vi tính nguyên hàm nhanh theo 3 cách sau:

Bước 1: dìm shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight) – fleft( X ight)$

Bước 2: dấn phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá bán nghiệm

Nếu kết quả bằng 0 (gần bởi 0 ) thì đó là đáp án phải chọn

Ví dụ: Tìm tất cả nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm máy tính

Bước 1: Nhập vào máy tính xách tay casio $fracddxleft( frac12.ln left( left ight) ight)_x = X – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong hiệu quả A cùng C nếu mang lại X = 2 thì đông đảo cho công dụng là 0. Vậy khi tất cả trị hoàn hảo thì cho X một giá trị cho biểu thức trong trị tuyệt vời nhất âm.

Kết luận: Chọn lời giải A.

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< eginarrayl I = int P(x)sin axdx \ I = int P(x)c mosaxdx endarray ight.$ với $P(x)$ là một đa thứcTa lựa chọn một trong hai bí quyết sau:

Cách 1: sử dụng nguyên hàm từng phần, tiến hành theo công việc sau:

Bước 1: Đặt: $left{ eginarrayl u = P(x)\ dv = left< eginarrayl mathop m s olimits minaxdx\ mcosaxdx endarray ight. endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = P"(x)dx\ v = left< eginarrayl frac – 1ac mosax\ frac m1 masin ax endarray ight. endarray ight.$Bước 2: cầm vào bí quyết nguyên hàm từng phần.Bước 3: liên tiếp thủ tục như bên trên ta vẫn khử được bậc của nhiều thức.

Xem thêm: Công Thức Tính Khoảng Cách Từ 1 Điểm Đến 1 Đường Thẳng Trong Oxyz

Cách 2: Sử dụng cách thức hệ số bất định, tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong số đó $A(x)$ cùng $B(x)$ là những đa thức thuộc bậc cùng với $P(x).$ Bước 2: rước đạo hàm hai vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng phương thức hệ số cô động ta khẳng định được $A(x)$ cùng $B(x).$

Nhận xét: giả dụ bậc của nhiều thức to hơn $3$ thì bí quyết 1 tỏ ra cồng kềnh, vì lúc đó ta thực hiện số lần nguyên hàm từng phần bởi với số bậc của đa thức, vì vậy ta đi đến đánh giá như sau:

Nếu bậc của nhiều thức nhỏ tuổi hơn hoặc bằng $2$: Ta thực hiện cách 1.Nếu bậc của đa thức to hơn hoặc bởi $3$: Ta áp dụng cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo nhấn xét trên, ta sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm nhị vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = < ma_ m2x^3 + left( 3a_1 + b_2 ight)x^2$ $ + left( 2b_1 + c_2 ight)x + c_1 + d_2 m>cosx$$ – < ma_ m1x^3 – left( 3a_2 – b_1 ight)x^2$ $ – left( 2b_2 – c_1 ight)x + c_2 – d_1>sin x$ $(2).$

Đồng tốt nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$