Bài viết này giới thiệu đến bạn đọc chi tiết Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh Tỷ số thể tích khối đa diện


ctvtoan4 3 năm trước 141908 lượt xem | Toán học 12

Bài viết này giới thiệu đến bạn đọc chi tiết Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh Tỷ số thể tích khối đa diện


Công thức 1:Hai khối chóp chung đỉnh và chung mặt phẳng đáy $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}.$

Câu 1.

Bạn đang xem: Công thức tính nhanh tỉ số thể tích

Cho khối chóp $S.ABC$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ và ${V}"$ là thể tích khối chóp $S.MNP.$ Tính tỉ số $\frac{{{V}"}}{V}.$

A. $\frac{{{V}"}}{V}=\frac{3}{4}.$

B. $\frac{{{V}"}}{V}=\frac{1}{3}.$

C. $\frac{{{V}"}}{V}=\frac{1}{2}.$

D. $\frac{{{V}"}}{V}=\frac{1}{4}.$

Giải. Ta có $\frac{{{V}"}}{V}=\frac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{ABC}}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}.$

Chọn đáp án D.

Câu 2.Cho khối chóp $S.ABCD$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CD,DA.$ Gọi ${V}"$ là thể tích khối chóp $S.MNPQ.$ Tính tỉ số $\frac{{{V}"}}{V}.$

A. $\frac{{{V}"}}{V}=\frac{3}{4}.$

B. $\frac{{{V}"}}{V}=\frac{1}{8}.$

C. $\frac{{{V}"}}{V}=\frac{1}{2}.$

D. $\frac{{{V}"}}{V}=\frac{1}{4}.$

Giải. Ta có $\frac{{{V}"}}{V}=\frac{{{S}_{MNPQ}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{2}.$ Chọn đáp án C.

Công thức 2:Công thức Simson (tỷ số thể tích) cho khối chóp tam giác $\frac{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{S{{A}_{1}}}{SA}.\frac{S{{B}_{1}}}{SB}.\frac{S{{C}_{1}}}{SC}.$

*

Công thức 3:Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy sao cho $\frac{S{{B}_{1}}}{S{{A}_{1}}}=k$ thì $\frac{{{V}_{S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}}}}{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}}}}={{k}^{3}}$ (đây là trường hợp đặc biệt cho hai khối đa diện đồng dạng tỷ số $k).$

*

Công thức 4:Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}"{B}"{C}"$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho $\frac{AM}{A{A}"}=x,\frac{BN}{B{B}"}=y,\frac{CP}{C{C}"}=z$ ta có ${{V}_{ABC.MNP}}=\frac{x+y+z}{3}{{V}_{ABC.{A}"{B}"{C}"}}.$

*

Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}"{B}"{C}"$ có thể tích $V.$ Các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $B{B}",C{C}"$ sao cho $\dfrac{MB}{B{B}"}=\dfrac{1}{2},\dfrac{NC}{C{C}"}=\dfrac{1}{4}.$ Thể tích của khối chóp tứ giác $A.BMNC$ là ?

A. $\dfrac{V}{3}.$

B. $\dfrac{3V}{8}.$

C. $\dfrac{V}{6}.$

D. $\dfrac{V}{4}.$

Giải.Ta có ${{V}_{A.BMNC}}=\dfrac{x+y+z}{3}V=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+0}{3}V=\dfrac{V}{4}.$ Chọn đáp án D.

Công thức 5:Mặt phẳng cắt các cạnh của khối hộp $ABCD.{A}"{B}"{C}"{D}"$ lần lượt tại $M,N,P,Q$ sao cho $\frac{AM}{A{A}"}=X,\frac{BN}{B{B}"}=y,\frac{CP}{C{C}"}=z,\frac{DQ}{D{D}"}=t$ ta có ${V_{ABCD.MNPQ}} = \frac{{x + y + z + t}}{4}{V_{ABCD.A"B"C"D"}}$ và $x+z=y+t.$

*

Ví dụ 1: Cho hình lập phương $ABCD.{A}"{B}"{C}"{D}"$ cạnh $2a,$ gọi $M$ là trung điểm của $B{B}"$ và $P$ thuộc cạnh $D{D}"$ sao cho $DP=\frac{1}{4}D{D}".$ Mặt phẳng $(AMP)$ cắt $C{C}"$ tại $N.$ Thể tích khối đa diện $AMNPQBCD$ bằng

*

A. $2{{a}^{3}}.$

B. $3{{a}^{3}}.$

C. $\frac{11}{3}{{a}^{3}}.$

D. $\frac{9}{4}{{a}^{3}}.$

Giải. Thể tích khối lập phương ${{V}_{0}}=8{{a}^{3}}.$ Có $x=\dfrac{AA}{A{A}"}=0,y=\dfrac{BM}{B{B}"}=\dfrac{1}{2},z=\dfrac{CN}{C{C}"},t=\dfrac{DP}{D{D}"}=\dfrac{1}{4}$ và $x+z=y+t\Leftrightarrow 0+z=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Leftrightarrow z=\frac{3}{4}.$

Khi đó ${{V}_{AMNPBCD}}=\dfrac{x+y+z+t}{4}{{V}_{0}}=\dfrac{0+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}{4}.8{{a}^{3}}=3{{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.

Công thức 6:Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành lần lượt tại $M,N,P,Q$ sao cho $\frac{SM}{SA}=x,\frac{SN}{SB}=y,\frac{SP}{SC}=z,\frac{SQ}{SD}=t$ ta có ${{V}_{S.MNPQ}}=\frac{xyzt}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right){{V}_{S.ABCD}}$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}.$

*

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có thể tích $V$ với đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng qua $A,M,P$ cắt cạnh $SC$ tại $N$ với $M,P$ là các điểm thuộc các cạnh $SB,SD$ sao cho $\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2},\frac{SP}{SD}=\frac{2}{3}.$ Mặt Tính thể tích khối đa diện $ABCD.MNP.$

A. $\frac{23}{30}V.$

B. $\frac{7}{30}V.$

C. $\frac{14}{15}V.$

D. $\frac{V}{15}.$

Giải. Ta có $x=\frac{SA}{SA}=1,y=\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2},z=\frac{SN}{SC},t=\frac{SP}{SD}=\frac{2}{3}$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}\Rightarrow 1+\frac{1}{z}=2+\frac{3}{2}\Leftrightarrow z=\frac{2}{5}.$

Do đó ${{V}_{S.AMNP}}=\frac{xyzt}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right)V=\frac{7}{30}V\Rightarrow {{V}_{ABCD.MNPQ}}=\frac{23}{30}V.$ Chọn đáp án A.

Công thức 9: Hai khối đa diện đồng dạng với tỷ số $k$ có $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}={{k}^{3}}.$

Ví dụ 1.

Xem thêm: Cách Tìm Tọa Độ Tiếp Điểm Của Mặt Cầu Và Mặt Phẳng, Cách Tìm Tọa Độ Tiếp Điểm

Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích $V.$ Gọi ${V}"$ là thể tích của khối tứ diện có bốn đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tứ diện $ABCD.$ Tính tỷ số $\frac{{{V}"}}{V}.$

A. $\frac{{{V}"}}{V}=\frac{8}{27}.$

B. $\frac{{{V}"}}{V}=\frac{1}{27}.$

C. $\frac{{{V}"}}{V}=\frac{4}{27}.$

D. $\frac{{{V}"}}{V}=\frac{4}{9}.$

Giải. Gọi ${A}",{B}",{C}",{D}"$ lần lượt là trọng tâm các mặt $(BCD),(ACD),(ABD),(ABC);$ Ta có $\frac{{A}"{B}"}{AB}=\frac{{A}"{C}"}{AC}=\frac{{A}"{D}"}{AD}=\frac{1}{3}.$ Khối tứ diện ${A}"{B}"{C}"{D}"$ đồng dạng với khối tứ diện $ABCD$ theo tỉ số $k=\frac{1}{3}.$ 

Do đó $\frac{{{V}"}}{V}={{k}^{3}}={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}=\frac{1}{27}.$Chọn đáp án B.

 

Bài viết gợi ý:
1. Phân tích đa thức chứa tham số thành nhân tử 2. Các dạng toán Lãi suất kép 3. công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp 4. Công Thức Giải Nhanh Tam Giác Cực Trị Hàm Trùng Phương 5. 50 Đề ôn Học Kì Toán Lí Hóa Sinh Anh Có Giải Chi Tiết 6. Các dạng vận dụng cao của bài toán xét tính đơn điệu của hàm số 7. Chuyên đề: Tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp đa diện.