Bài viết phía dẫn phương thức ứng dụng tích phân nhằm tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tía đường cong, đây là dạng toán thường gặp trong công tác Giải tích 12 chương 3: Nguyên hàm – Tích phân với Ứng dụng.

Bạn đang xem: Tính thể tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNCách 1:+ Tính hoành độ giao điểm của từng cặp vật thị.+ Chia diện tích s hình phẳng thành tổng của các diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai vật dụng thị.Cách 2:+ Vẽ các đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ.+ Từ thứ thị chia diện tích s hình phẳng thành tổng của các diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi hai đồ dùng thị.

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAVí dụ 1: call $S$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi thiết bị thị bố hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ (phần gạch chéo trong hình mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định nào sau đây đúng?A. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$B. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$C. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$D. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$

Lời giải:Từ đồ vật thị ta có:

*

$S = S_1 + S_2$ $ = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$Chọn câu trả lời C.

Ví dụ 2: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường $y = – x^2 + 3x$, $y = x + 1$, $y = – x + 4$ bằng:A. $frac112.$B. $frac16.$C. $frac14.$D. $frac13.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$ – x^2 + 3x = x + 1$ $ Leftrightarrow – x^2 + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$$ – x^2 + 3x = – x + 4$ $ Leftrightarrow – x^2 + 4x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$x + 1 = – x + 4$ $ Leftrightarrow 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_1^frac32 left $ $ + int_frac32^2 dx $ $ = int_1^frac32 (x – 1)^2 dx$ $ + int_frac32^2 (x – 2)^2 dx.$$ = left. frac(x – 1)^33 ight|_1^frac32$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac32^2$ $ = frac112.$Chọn giải đáp A.

Ví dụ 3: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = 2x^2$, $y = fracx^24$, $y = frac54x$ bằng:A. $frac632 – 54ln 2.$B. $54ln 2.$C. $ – frac632 + 54ln 2.$D. $frac634.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$2x^2 = fracx^24 Leftrightarrow x = 0.$$2x^2 = frac54x Leftrightarrow x = 3.$$fracx^24 = frac54x Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 left $ $ + int_3^6 dx $ $ = left| int_0^3 left( 2x^2 – fracx^24 ight)dx ight|$ $ + left| int_3^6 left( frac54x – fracx^24 ight)dx ight|.$$ = left| _0^3 ight| + left| _3^6 ight|$ $ = 54ln 2.$Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = e^x$, $y = 3$, $y = 1 – 2x$ bằng:A. $5 – 3ln 3.$B. $3ln 3 – 5.$C. $3ln 3 – 1.$D. $S = 3ln 3 + 2e – 5.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$e^x = 3 Leftrightarrow x = ln 3.$$3 = 1 – 2x Leftrightarrow x = – 1.$$e^x = 1 – 2x$ $ Leftrightarrow e^x + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ (vì $f(x) = e^x + 2x – 1$ đồng vươn lên là trên $R$ với $x=0$ là 1 nghiệm của phương trình $e^x + 2x – 1 = 0$).Diện tích:$S = int_ – 1^0 dx $ $ + int_0^ln 3 dx .$$ = left| int_ – 1^0 (2 + 2x)dx ight|$ $ + left| int_0^ln 3 left( 3 – e^x ight)dx ight|.$$ = 3ln 3 – 1.$Chọn lời giải C.

Ví dụ 5: diện tích s hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = sqrt x $, $y = 2 – x$, $y = 0$ bằng:A. $frac43.$B. $frac76.$C. $frac16 + frac4sqrt 2 3.$D. $frac133.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt x = 2 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 2\x = (2 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 1.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^1 | sqrt x – (2 – x)|dx$ $ + int_1^2 | 2 – x|dx$ $ = left| int_0^1 (sqrt x – 2 + x) dx ight|$ $ + left| int_1^2 (2 – x)dx ight|.$$ = left| left. left( frac2xsqrt x 3 – 2x + fracx^22 ight) ight ight|$ $ + left| left. left( 2x – fracx^22 ight) ight ight|$ $ = frac43.$Chọn giải đáp A.

Ví dụ 6: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi parabol $(P):y = x^2 – x – 2$ và những tiếp đường của $(P)$ tại các giao điểm của $(P)$ cùng với trục hoành bằng:A. $frac634.$B. $frac638.$C. $frac1178.$D. $frac94.$

Lời giải:Viết các tiếp tuyến:$y = x^2 – x – 2$ $ Rightarrow y’ = 2x – 1.$Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ với $Ox:$$x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 2 Rightarrow y"(2) = 3endarray ight..$Tại $M( – 1;0)$, $y"( – 1) = – 3$, phương trình tiếp đường là: $y=-3x-3.$Tại $N(2;0)$, $y"(2) = 3$, phương trình tiếp đường là: $y = 3x – 6.$Tìm các hoành độ giao điểm:$x^2 – x – 2 = – 3x – 3$ $ Leftrightarrow x = – 1.$$x^2 – x – 2 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = 2.$$ – 3x – 3 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = frac12.$Diện tích:$S = int_ – 1^frac12 x^2 – x – 2 – ( – 3x – 3) ight $ $ + int_frac12^2 x^2 – x – 2 – (3x – 6) ight .$$ = int_ – 1^frac12 (x + 1)^2 dx$ $ + int_frac12^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x + 1)^33 ight|_ – 1^frac12$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac12^2$ $ = frac94.$Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 7: Hình phẳng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số $y = 3x – x^2$ với $y = left{ eginarray*20l – fracx2& mkhi::x le 2\x – 3& mkhi::x > 2endarray ight.$ có diện tích s là:A. $S = frac23.$B. $S = frac83.$C. $S = 4.$D. $S = 6.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:

*

$3x – x^2 = – fracx2$ $(x le 2)$ $ Leftrightarrow x = 0.$$3x – x^2 = x – 3$ $(x > 2)$ $ Leftrightarrow x = 3.$$ – fracx2 = x – 3 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^2 left( 3x – x^2 + fracx2 ight)dx $ $ + int_2^3 left( 3x – x^2 – x + 3 ight)dx = 6.$Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 8: gọi $S$ là diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = sqrt 3x $, $y = 6 – x$ và trục $Ox.$ khẳng định nào sau đấy là đúng?A. $S = int_0^6 (sqrt 3x – 6 + x)dx .$B. $S = int_0^6 sqrt 3x dx + int_0^6 (6 – x)dx .$C. $S = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$D. $S = int_0^6 (6 – x – sqrt 3x )dx .$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt 3x = 6 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l6 – x ge 0\3x = (6 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 3.$$sqrt 3x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$$6 – x = 0 Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 | sqrt 3x – 0|dx$ $ + int_3^6 | 6 – x – 0|dx$ $ = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$Chọn đáp án C.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: diện tích s hình phẳng giới hạn bởi nhánh đường nhỏ cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, con đường thẳng $y = 3 – 2x$ và trục hoành bằng:A. $frac512.$B. $frac2312.$C. $frac78.$D. $frac712.$

Câu 2: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường $y = sqrt 2x $, $y = 4 – x$ và trục $Ox$ bằng:A. $frac173.$B. $frac163.$C. $frac143.$D. $frac133.$

Câu 3: diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^3$, $y = 2 – x$ cùng $y = 0$ bằng:A. $frac34.$B. $frac114.$C. $frac72.$D. $frac52.$

Câu 4: gọi $S$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị những hàm số $y = x^2$, $y = fracx^227$, $y = frac27x.$ khẳng định nào sau đấy là đúng?A. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 left .$B. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 left .$C. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 left .$D. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 left .$

Câu 5: Cho diện tích s hình phẳng giới hạn bởi hai nhánh đường cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, $y = 4x^2$ $(x ge 0)$ và mặt đường thẳng $y=4$ bằng?A. $frac83.$B. $frac143.$C. $7.$D. $frac173.$

2. BẢNG ĐÁP ÁN

Câu12345
Đáp ánDCAAA

3. HƯỚNG DẪN GIẢICâu 1: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 3 – 2x$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$3 – 2x = 0 Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_0^1 x^2 – 0 ight $ $ + int_1^frac32 | 3 – 2x – 0|dx$ $ = frac712.$Chọn lời giải D.

Câu 2: Phương trình hoành độ giao điểm:$sqrt 2x = 4 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 4\2x = (4 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 2.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$4 – x = 0 Leftrightarrow x = 4.$Diện tích:$S = int_0^2 | sqrt 2x – 0|dx$ $ + int_2^4 | 4 – x – 0|dx$ $ = frac143.$Chọn lời giải C.

Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^3 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$$x^3 = 2 – x Leftrightarrow x = 1.$Diện tích:$S = int_0^1 x^3 – 0 ight $ $ + int_1^2 | 2 – x|dx = frac34.$Chọn giải đáp A.

Câu 4: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = fracx^227 Leftrightarrow x = 0.$$fracx^227 = frac27x Leftrightarrow x = 9.$$frac27x = x^2 Leftrightarrow x = 3.$Diện tích: $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 dx .$Chọn giải đáp A.

Xem thêm: Cách Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số Từ A, Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

Câu 5: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 2.$$4x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 4x^2 Leftrightarrow x = 0.$Diện tích: $S = int_0^1 dx $ $ + int_1^2 4 – x^2 ight = frac83.$Chọn lời giải A.