Biết rằng (z) là số phức gồm môđun bé dại nhất thỏa mãn (left( 1 - z ight)left( ar z + 2i ight)) là số thực. Số phức (z) là:
Cách 1:
- Đặt (z = x + yi,,left( x,,,y in mathbbR
ight)), nỗ lực vào biểu thức (left( 1 - z
ight)left( ar z + 2i
ight)), tìm điều kiện để (left( 1 - z
ight)left( ar z + 2i
ight)) là số thực, tức là (mathop
m Im
olimits left( 1 - z
ight)left( ar z + 2i
ight) = 0), trình diễn (y) theo (x).
Bạn đang xem: Số phức có modun nhỏ nhất
- Tính (left| z ight| = sqrt x^2 + y^2 ), thay (y) theo (x) tìm kiếm được ở trên, tra cứu GTNN của biểu thức dạng (ax^2 + bx + c,,left( a e 0 ight)), biểu thức đạt GTNN trên (x = - dfracb2a) với (a > 0).
Cách 2:
- Tính môđun cả 4 số phức sống 4 đáp án, test từ số phức gồm môđun nhỏ dại nhất.
- thế lần lượt những số phức ở các đáp án vào biểu thức (left( 1 - z ight)left( ar z + 2i ight)), search số phức thỏa mãn nhu cầu (left( 1 - z ight)left( ar z + 2i ight)) là số thực.
Phương pháp giải một trong những bài toán liên quan tới điểm biểu diễn số phức vừa lòng điều kiện đến trước --- Xem bỏ ra tiết
Xem lời giải
Lời giải của GV amiralmomenin.net
Cách 1:
Gọi (z = x + yi,,left( x,,,y in mathbbR ight)), theo bài bác ra ta có:
(eginarrayl,,,,left( 1 - z ight)left( ar z + 2i ight)\ = left( 1 - x - yi ight)left( x - yi + 2i ight)\ = left( 1 - x - yi ight)left( x - left( y - 2 ight)i ight)\ = left( 1 - x ight)x - left( 1 - x ight)left( y - 2 ight)i - xyi - yleft( y - 2 ight)\ = left< left( 1 - x ight)x - yleft( y - 2 ight) ight> - left< left( 1 - x ight)left( y - 2 ight) + xy ight>iendarray)
Để (left( 1 - z ight)left( ar z + 2i ight)) là số thực thì (mathop m Im olimits left( 1 - z ight)left( ar z + 2i ight) = 0)
(eginarrayl Leftrightarrow left( 1 - x ight)left( y - 2 ight) + xy = 0\ Leftrightarrow y - 2 - xy + 2x + xy = 0\ Leftrightarrow y = 2 - 2xendarray)
Khi kia ta có: (left = x^2 + y^2 = x^2 + left( 2 - 2x ight)^2 = 5x^2 - 8x + 4).
( Rightarrow _min Leftrightarrow left_min Leftrightarrow x = dfrac82.5 = dfrac45), khi ấy (y = 2 - 2.dfrac45 = dfrac25).
Vậy số phức (z) thỏa mãn yêu cầu vấn đề là: .(z = dfrac45 + dfrac25i).
Đáp án cần chọn là: d
Cách 2:
Tính môđun tất cả các số phức ở các đáp án:
(z = 1 + dfrac12i Rightarrow left| z ight| = dfracsqrt 5 2)
(z = dfrac35 + dfrac45i Rightarrow left| z ight| = 1)
(z = 2i Rightarrow left| z ight| = 2)
(z = dfrac45 + dfrac25i Rightarrow left| z ight| = dfrac2sqrt 5 5).
Thử trường đoản cú số phức bao gồm môđun bé dại nhất.
Xem thêm: Chúng Minh Công Thức Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay Cực Hay, Công Thức Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay
Nhập vào màn dường như sau:
Xét câu trả lời D, thế số phức (z = dfrac45 + dfrac25i) vào biểu thức (left( 1 - z ight)left( ar z + 2i ight)) (đã nhập trên thứ tính) ta thấy công dụng là số thực, thỏa mãn.