Bài viết phía dẫn ứng dụng tích phân tính diện tích s hình phẳng trải qua tổng phù hợp thuyết, phân dạng, quá trình giải toán và những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết. Kiến thức và kỹ năng và những ví dụ trong nội dung bài viết được tham khảo từ những tài liệu nguyên hàm, tích phân và ứng dụng đăng cài đặt trên amiralmomenin.net.

Bạn đang xem: Phương pháp tính diện tích hình phẳng

Lý thuyết cần nắm:1. Diện tích của hình tròn và của hình elípa. Hình tròn cung cấp kính $R$ có diện tích s $S = pi R^2.$b. Hình elíp $left( E ight)$: $fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1$ có diện tích s $S = pi ab.$2. Tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường conga. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số $y = fleft( x ight)$ ($fleft( x ight)$ liên tục bên trên đoạn $left< a;b ight>$), trục $Ox$ và hai tuyến phố thẳng $x = a$ và $x = b$ được cho vị công thức: $S = intlimits_a^b left .$b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tuyến phố thẳng $x = a$, $x = b$ và vật dụng thị của nhì hàm số $y = f_1left( x ight)$ và $y = f_2left( x ight)$ ($f_1left( x ight)$ và $f_2left( x ight)$ liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$) được cho bởi công thức: $S = intlimits_a^b left .$

Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số $y = fleft( x ight)$ (liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$), trục hoành và hai tuyến đường thẳng $x = a$, $x = b$ và trục $Ox$+ Bước 1: hotline $S$ là diện tích s cần xác định, ta có: $S = intlimits_a^b dx .$+ Bước 2: Xét vệt biểu thức $fleft( x ight)$ trên $left< a;b ight>$. Từ đó phân được đoạn $left< a;b ight>$ thành các đoạn nhỏ, trả sử: $left< a;b ight>$ $ = left< a;c_1 ight> cup left< c_1;c_2 ight> cup … cup left< c_k;b ight>$ cơ mà trên mỗi đoạn $fleft( x ight)$ chỉ có một dấu.+ Bước 3: Khi đó: $S = intlimits_a^c_1 dx + intlimits_c_1^c_2 left dx$ $ + … + intlimits_c_k^b dx.$

Chú ý: Nếu câu hỏi phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số $x = m fleft( y ight)$ (liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$) hai tuyến đường thẳng $y = a$, $y = b$ và trục $Oy$”, khi đó bí quyết tính diện tích là: $S = intlimits_a^b left .$

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:a. Đồ thị hàm số $y = cosx + 1$, trục hoành và hai tuyến đường thẳng $x = 0$ và $x = frac2pi 3.$b. Đồ thị hàm số $y = x^3 – 1$, trục hoành, trục tung và mặt đường thẳng $x = 2.$

a. Ta có: $S = intlimits_0^2pi /3 left $ $ = intlimits_0^2pi /3 (comathop m s olimits x + 1)dx $ $ = left( sin x + x ight)left| _0^2pi /3 ight.$ $ = fracsqrt 3 2 + frac2pi 3.$b. Ta có: $S = intlimits_0^2 x^3 – 1 ight .$Xét hàm số: $fleft( x ight) = x^3 – 1$ trên đoạn $left< 0;2 ight>$, ta có: $x^3 – 1 = 0$ $ Leftrightarrow (x – 1)left( x^2 + m x m + m 1 ight) = 0$ $ Leftrightarrow x m = m 1.$Bảng xét dấu:

*

Khi đó: $S = intlimits_0^1 x^3 – 1 ight + intlimits_1^2 dx $ $ = intlimits_0^1 left( 1 – x^3 ight)dx + intlimits_1^2 left( x^3 – 1 ight)dx $ $ = left( x – fracx^44 ight)left| _0^1 ight. + left( fracx^44 – x ight)left| _1^2 ight. = frac72.$

Nhận xét: Như vậy, nhằm tính các diện tích hình phẳng trên:+ Ở câu 1.a họ chỉ việc áp dụng công thức cùng với nhận xét $cosx + 1 ge 0$ để phá vết trị xuất xắc đối. Tự đó, nhận giá tốt trị của tích phân.+ Ở câu 1.b chúng ta cần xét dấu đa thức $x^3 – 1$ trên đoạn $left< 0;2 ight>$, để trường đoản cú đó bóc tích phân $S$ thành những tích phân nhỏ tuổi mà trên đó biểu thức $x^3 – 1$ không âm hoặc ko dương.

Ví dụ 2: Tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi:a. Đồ thị hàm số $y = – x^2 + 3x – 2$ và trục hoành.b. Đồ thị hàm số $y = x^3 – 2x^2 – x + 2$ và trục hoành.

Xem thêm: Tổng Hợp Lý Thuyết Toán Lớp 6 Cả Năm, Tổng Hợp Lý Thuyết Toán Lớp 6 Chi Tiết

a. Ta bao gồm hoành độ giao điểm của đồ dùng thị hàm số $y = – x^2 + 3x – 2$ cùng trục hoành là:$ – x^2 + 3x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2.$Khi đó: $S = intlimits_1^2 left $ $ = intlimits_1^2 left( – x^2 + 3x – 2 ight)dx $ $ = left. left( – frac13x^3 + frac32x^2 – 2x ight) ight|_1^2$ $ = frac16.$b. Ta gồm hoành độ giao điểm của vật thị hàm số $y = x^2 – 2x$ với trục hoành là:$x^3 – 2x^2 – x + 2 m = 0$ $ Leftrightarrow (x – 1)(x^2 – x – 2) = 0$ $ Leftrightarrow x = pm 1$ hoặc $x = 2.$Khi đó: $S = intlimits_ – 1^2 x^3 – 2x^2 – x + 2 ight $ $ = intlimits_ – 1^1 x^3 – 2x^2 – x + 2 ight $ $ + intlimits_1^2 dx $$ = intlimits_ – 1^1 left( x^3 – 2x^2 – x + 2 ight)dx $ $ + intlimits_1^2 left( – x^3 + 2x^2 + x – 2 ight)dx $$ = left. left( frac14x^4 – frac23x^3 – frac12x^2 + 2x ight) ight|_ – 1^1$ $ + left. left( – frac14x^4 + frac23x^3 + frac12x^2 – 2x ight) ight|_1^2$ $ = 3.$

Nhận xét: Như vậy, để tính những diện tích hình phẳng trên bọn họ đều cần kiếm được hai cận $a$, $b$ của tích phân và:+ Ở câu 2.a bởi phương trình hoành độ chỉ tất cả hai nghiệm đề xuất hàm số dưới dấu vết phân chỉ có một dấu.+ Ở câu 2.b vì chưng phương trình hoành độ có tía nghiệm bắt buộc tích phân $S$ buộc phải được bóc thành nhì tích phân nhỏ.Dạng toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ vật thị nhị hàm số $y = fleft( x ight)$, $y = gleft( x ight)$ (liên tục bên trên đoạn $left< a;b ight>$) hai đường thẳng $x = a$, $x = b$+ Bước 1: điện thoại tư vấn $S$ là diện tích cần xác định, ta có: $S = intlimits_a^b left .$+ Bước 2: Xét dấu biểu thức $fleft( x ight) – gleft( x ight)$ trên $left< a;b ight>$. Từ đó phân được đoạn $left< a,b ight>$ thành các đoạn nhỏ, mang sử: $left< a;b ight>$ $ = left< a;c_1 ight> cup left< c_1;c_2 ight> cup … cup left< c_k;b ight>$ mà trên mỗi đoạn $fleft( x ight) – gleft( x ight)$ chỉ gồm một dấu.+ Bước 3: lúc đó: $S = I = intlimits_a^c_1 left dx + $ $… + intlimits_c_k^b f(x) – g(x) ight dx .$

Chú ý: Nếu câu hỏi phát biểu bên dưới dạng: “Tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi đồ gia dụng thị nhì hàm số $x = f_1left( y ight)$ và $x = f_2left( y ight)$ (liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$) và hai tuyến đường thẳng $y = a$, $y = b$ và trục $Oy$”, khi đó cách làm tính diện tích là: $S = intlimits_a^b f_1(y) – f_2(y) ight .$

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:a. Đồ thị các hàm số $y = 4-x^2$, $y = -x + 2.$b. Đồ thị các hàm số $y = lnx$, $y = -lnx$ và $x = e.$

a. Hoành độ giao điểm của hai vật dụng thị là nghiệm của phương trình:$4–x^2 = –x + 2$ $ Leftrightarrow x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow x = – 1$ hoặc $x = 2.$Khi đó: $S = intlimits_ – 1^2 x^2 – x – 2 ight $ $ = – intlimits_ – 1^2 left( x^2 – x – 2 ight)dx $ $ = – left. left( frac13x^3 – frac12x^2 – 2x ight) ight|_ – 1^2$ $ = frac276.$b. Hoành độ giao điểm của hai đồ vật thị là nghiệm của phương trình:$lnx = -lnx$ $ Leftrightarrow 2lnx = 0$ $ Leftrightarrow lnx = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$Khi đó: $S = intlimits_1^e left $ $ = 2intlimits_1^e ln x.dx .$Đặt: $left{ eginarraylu = ln x\dv = dxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayldu = fracdxx\v = xendarray ight.$ $ Rightarrow S = 2left( left. X.ln x ight ight)$ $ = 2left( e – left. X ight ight)$ $ = 2.$

Ví dụ 4: Cho hàm số: $left( C ight)$: $y = fracx^2x^2 + 1$. Tìm $b$ làm thế nào cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi $left( C ight)$ và các đường thẳng $y = 1$, $x = 0$, $x = b$ bằng $fracpi 4.$

Gọi $S$ là diện tích s cần xác định, ta có:$S = intlimits_0^b | frac mx^ m2 mx^ m2 + 1 – 1|dx$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow intlimits_ m0^b | frac mx m ^ m2 – x^2 – 1 mx m ^ m2 + 1|dx$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow left| intlimits_0^b fracdx mx^ m2 + 1 ight|$ $ = fracpi 4$ $(1).$Đặt $x = tant$, $ – fracpi 2 Đổi cận: Với $x = 0$ thì $t = 0$, với $x = b$ thì $t = alpha $ (với $tanalpha = b$ và $ – fracpi 2 khi đó: $(1) Leftrightarrow left| intlimits_0^alpha dt ight|$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow left| t ight|left| eginarraylalpha \0endarray ight.$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow left| alpha ight| = fracpi 4$ $ Leftrightarrow b = pm 1.$