Bài viết hướng dẫn quá trình tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần, mặt khác nêu ra một số trong những dạng toán thường gặp và kinh nghiệm tay nghề đặt trở thành số thích hợp khi thực hiện tích phân từng phần.

Bạn đang xem: Phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp tích phân từng phần:Nếu $u(x)$ với $v(x)$ là các hàm số bao gồm đạo hàm tiếp tục trên $left< a;b ight>$ thì:$intlimits_a^b u(x)v"(x)dx $ $ = left( u(x)v(x) ight)left| eginarraylb\aendarray ight. – intlimits_a^b v(x)u"(x)dx .$Hay: $intlimits_a^b udv = uvleft .$

Áp dụng cách làm trên ta bao gồm quy tắc tính $intlimits_a^b f(x)dx $ bằng phương thức tích phân từng phần như sau:+ Bước 1: Viết $f(x)dx$ bên dưới dạng $udv = uv’dx$ bằng bí quyết chọn 1 phần thích hợp của $f(x)$ làm cho $u(x)$ và phần còn lại $dv = v"(x)dx.$+ Bước 2: Tính $du = u’dx$ và $v = int dv = int v"(x)dx .$+ Bước 3: Tính $intlimits_a^b vdu = intlimits_a^b vu’dx $ và $uvleft| eginarraylb\aendarray ight. .$+ Bước 4: Áp dụng công thức $intlimits_a^b f(x)dx = intlimits_a^b eginarraylb\aendarray ight. – intlimits_a^b vdu .$

Cách để $u$ cùng $dv$ trong phương thức tích phân từng phầnĐiều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm cố kỉnh nào để chọn $u$ và $dv = v’dx$ thích thích hợp trong biểu thức dưới vết tích phân $f(x)dx$. Nói chung nên chọn lựa $u$ là phần của $f(x)$ mà lại khi mang đạo hàm thì solo giản, chọn $dv = v’dx$ là phần của $f(x)dx$ là vi phân một hàm số sẽ biết hoặc gồm nguyên hàm dễ tìm.

*

+ nếu tính tích phân $intlimits_alpha ^eta P(x)Q(x)dx $ mà $P(x)$ là đa thức cất $x$ cùng $Q(x)$ là một trong đầy đủ hàm số: $e^ax$, $sin ax$, $cos ax$ thì ta hay đặt:$left{ eginarraylu = P(x)\dv = Q(x)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = P"(x)dx\v = int Q(x)dxendarray ight. $+ Nếu tính tích phân $intlimits_alpha ^eta P(x)Q(x)dx $ mà $P(x)$ là nhiều thức của $x$ với $Q(x)$ là hàm số $ln(ax)$ thì ta đặt: $left{ eginarraylu = Q(x)\dv = P(x)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = Q’left( x ight)dx\v = int P(x)dxendarray ight. $+ ví như tính tích phân $J = intlimits_alpha ^eta e^axsin bxdx $ thì ta đặt $left{ eginarraylu = e^ax\dv = sin bxdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = ae^axdx\v = – frac1bcos bxendarray ight. $Tương tự với tích phân $I = intlimits_alpha ^eta e^axcos bxdx $, ta đặt $left{ eginarraylu = e^ax\dv = cos bxdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = ae^axdx\v = frac1bsin bxendarray ight. $Trong trường phù hợp này, ta cần tính tích phân từng phần nhị lần kế tiếp trở thành tựu phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân đề xuất tính.

Xem thêm: Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Lớp 12, Các Dạng Bài Tập Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

Ví dụ minh họa:Ví dụ 1: Tính những tích phân sau:a. $intlimits_1^2 fracln xx^5dx .$b. $intlimits_0^fracpi 2 xcos xdx .$c. $intlimits_0^1 xe^xdx .$d. $intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx .$

a. Đặt $left{ eginarraylu = ln x\dv = frac1x^5dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = fracdxx\v = – frac14x^4endarray ight.$Do đó: $intlimits_1^2 fracln xx^5dx $ $ = left. – fracln x4x^4 ight|_1^2 + frac14intlimits_1^2 fracdxx^5 $ $ = – fracln 264 + left. frac14left( – frac14x^4 ight) ight|_1^2$ $ = frac15 – 4ln 2256.$b. Đặt $left{ eginarraylu = x\dv = cos xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = dx\v = sin xendarray ight.$Do đó: $intlimits_0^fracpi 2 xcos xdx $ $ = left( xsin x ight)left| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. – intlimits_0^fracpi 2 sin xdx $ $ = fracpi 2 + cos xleft| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. = fracpi 2 – 1.$c. Đặt $left{ eginarraylu = x\dv = e^xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = dx\v = e^xendarray ight.$Do đó: $intlimits_0^1 xe^xdx $ $ = xe^xleft| eginarrayl1\0endarray ight. – intlimits_0^1 e^xdx $ $ = e – e^xleft| eginarrayl1\0endarray ight.$ $ = e – left( e – 1 ight) = 1.$d. Đặt $left{ eginarraylu = e^x\dv = cos xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = e^xdx\v = sin xendarray ight.$ $ Rightarrow intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $ $ = e^xsin xleft| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. – intlimits_0^fracpi 2 e^xsin xdx .$Đặt $left{ eginarraylu_1 = e^x\dv_1 = sin xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu_1 = e^xdx\v_1 = – cos xendarray ight.$$ Rightarrow intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $ $ = e^fracpi 2 + e^xcos xleft| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. – intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $$ Leftrightarrow 2intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $ $ = e^fracpi 2 – 1$ $ Leftrightarrow intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx = frace^fracpi 2 – 12.$

Ví dụ 2: Tính những tích phân sau:a. $I = intlimits_1^3 frac3 + ln x(x + 1)^2dx .$b. $J = intlimits_ – 1^0 (2x^2 + x + 1)ln (x + 2)dx .$

a. Đặt $left{ eginarraylu = 3 + ln x\dv = fracdx(x + 1)^2endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = fracdxx\v = frac – 1x + 1endarray ight.$$I = – left. frac3 + ln xx + 1 m ight|_1^3 + intlimits_1^3 fracdxx(x + 1) $ $ = – frac3 + ln 34 + frac32 + left. ight|_1^3$ $ = frac3 – ln 34 + ln frac32.$b. Đặt $left{ eginarraylu = ln (x + 2)\dv = (2x^2 + x + 1)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = frac1x + 2dx\v = frac23x^3 + frac12x^2 + xendarray ight.$$J = (frac23x^3 + frac12x^2 + x)ln (x + 2)left| _ – 1^0 ight.$ $ – frac16intlimits_ – 1^0 frac4x^3 + 3x^2 + 6xx + 2dx $$ = – frac16intlimits_ – 1^0 (4x^2 – 5x + 16 – frac32x + 2)dx $ $ = – frac16left. left< frac43x^3 – frac52x^2 + 16x – 32ln (x + 2) ight> ight|_ – 1^0$$ = frac163ln 2 – frac11936.$

Ví dụ 3: Tính tích phân sau: $I = intlimits_0^e – 1 xln (x + 1)dx .$

Đặt $left{ eginarraylu = ln (x + 1)\dv = xdxendarray ight.$ ta có $left{ eginarrayldu = frac1x + 1dx\v = fracx^2 – 12endarray ight.$Suy ra: $I = intlimits_0^e – 1 xln (x + 1)dx $ $ = left. left< ln (x + 1)fracx^2 – 12 ight> ight|_0^e – 1$ $ – frac12intlimits_0^e – 1 (x – 1)dx $ $ = frace^2 – 2e2 – frac12left( fracx^22 – x ight)left| _0^e – 1 ight.$ $ = frace^2 – 34.$Chú ý: Trong ví dụ như này, ta chọn $v = fracx^2 – 12$ thay vày $v = fracx^22$ để bài toán tính tích phân $intlimits_0^e – 1 vdu $ thuận tiện hơn, như vậy các bạn đọc rất có thể chọn $v$ một cách khôn khéo để giải mã được ngắn gọn.