Cách kiếm tìm hình chiếu của một điểm khởi thủy thẳng rất hay
Với phương pháp tìm hình chiếu của 1 điểm xuất phát thẳng cực hay Toán lớp 10 có đầy đủ phương pháp giải, lấy một ví dụ minh họa và bài bác tập trắc nghiệm có lời giải cụ thể sẽ giúp học viên ôn tập, biết phương pháp làm dạng bài xích tập search hình chiếu của một điểm xuất hành thẳng từ kia đạt điểm cao trong bài xích thi môn Toán lớp 10.
Bạn đang xem: Hình chiếu của điểm lên đường thẳng
A. Cách thức giải
Cho trước điểm A(x0; y0) với phương trình con đường thẳng d: ax + by + c = 0 gồm VTPT n→( a; b). Kiếm tìm hình chiếu của điểm A xuất xứ thẳng d:
+ bước 1: gọi H là hình chiếu của A phát xuất thẳng d.
+ cách 2: Lập phương trình tổng quát của AH
AH:
⇒ phương trình AH: b(x - x0) - a(y - y0) = 0
+ cách 3: AH và d giảm nhau tại H buộc phải tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:
Từ hệ phương trình bên trên ta suy ra tọa độ điểm H.
B. Lấy ví dụ minh họa
Ví dụ 1: đến điểm A( 1; 2) và mặt đường thẳng (d): x + 2y - 3 = 0 .Tìm hình chiếu của A phát xuất thẳng d.
A. ( 1; -2) B. (-
Lời giải
+ gọi H là hình chiếu của A xuất phát thẳng (d) .
+ Lập phương trình mặt đường thẳng AH:
(AH) :
⇒ Phương trình ( AH) : 2(x - 1) – 1.( y - 2) = 0 giỏi 2x - y = 0
+ hai tuyến đường thẳng AH và d cắt nhau trên H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:
Chọn C.
Ví dụ 2: cho điểm A( 2; 0) và mặt đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm kiếm hình chiếu của điểm A khởi hành thẳng d.
A. ( 2; -1) B. (2; 0) C. (1; -2) D. (-2; -1)
Lời giải
Ta có: 2 + 0 - 2 = 0 đề nghị điểm A thuộc con đường thẳng d.
⇒ Hình chiếu của điểm A xuất hành thẳng d chính là điểm A.
Chọn B.
Ví dụ 3: mang lại tam giác ABC có A( 0; -2).Gọi I ( 2; 4) là trung điểm của AB với J( -4; 2) là trung điểm của AC. điện thoại tư vấn hình chiếu của điểm A lên BC là H. Viết phương trình đường thẳng AH?
A. 6x + 2y - 3 = 0 B. 6x + 2y + 4 =0 C. 2x - y + 1 = 0 D. Tất cả sai
Lời giải
+ bởi I với J thứu tự là trung điểm của AB và AC buộc phải IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .
+ do H là hình chiếu của A lên BC
⇒ AH vuông góc BC (2).
Từ(1) cùng ( 2) suy ra: AH vuông góc IJ
+ Lập phương trình AH:
⇒ ( AH): 6(x - 0) + 2( y + 2) = 0 tốt 6x + 2y + 4 = 0.
Chọn B.
Ví dụ 4: Toạ độ hình chiếu của M(4; 1) trên tuyến đường thẳng ∆: x - 2y + 4 = 0 là:
A. ( 14; -19) B. ( 2; 3)C. (; ) D. (- ; )
Lời giải
+ Đường trực tiếp ∆ có một VTPT n→(1; -2)
điện thoại tư vấn H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M trên phố thẳng ∆ thì MH→(2t - 8; t - 1)
⇒ hai vecto MH→ và n→(2; -3) cùng phương nên:
Chọn C.
Ví dụ 5: đến đường trực tiếp ∆:
A. (4; -2) B. (1; 0) C. (-2; 2) D. (7; -4)
Lời giải
Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.
Ta có: H ∈ ∆ ⇒ H(1 + 3t; - 2t), MH→ = (- 2 + 3t; - 3 - 2t)
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là u→( 3; -2) .
Do H là hình chiếu vuông góc của M bên trên ∆ nên hai tuyến phố thẳng MH với ∆ vuông góc cùng với nhau
⇒ MH→.u→ = 0 ⇔ 3( -2 + 3t ) – 2( -3 - 2t) = 0
⇔ -6 + 9t + 6 + 4t = 0 ⇔ 13t = 0 ⇔ t = 0
⇒ H ( 1; 0)
Chọn B.
Ví dụ 6: Tìm hình chiếu của A( 3;-4) khởi thủy thẳng d:
A. ( 1; 2) B. (4; -2) C. ( -1; 2) D. ( -1; -3)
Lời giải
+ lấy điểm H(2 + 2t; -1 - t) nằm trong d.
Ta gồm AH→ = (2t - 1; -t + 3)
Vectơ chỉ phương của d là u→( 2; -1)
+Do H là hình chiếu của A trên d
⇔ AH ⊥ d ⇔ u→.AH→ = 0 ⇔ 2(2t - 1) - (- t + 3) = 0 ⇔ t = 1
+ với t = 1 ta gồm H( 4; -2)
Vậy hình chiếu của A bên trên d là H( 4; -2).
Chọn B.
Ví dụ 7: cho đường trực tiếp ∆:
A. 1,1B. 1,2C. 1,3D. 1,5
Lời giải
Gọi H là hình chiếu của M bên trên ∆.
Ta có: H ∈ ∆ yêu cầu H( 2 - 3t; 1 + 2t) với MH→( -2 - 3t; -4 + 2t)
Đường thẳng ∆có vectơ chỉ phương là u→(3; - 2) .
u→ ⊥ MH→ ⇔ u→.MH→ = 0 ⇔ 3(-2 - 3t) - 2(-4 + 2t) = 0 ⇔ -13t + 2 = 0 ⇔ t =
⇒ Hoành độ của điểm H là .
Chọn D.
Ví dụ 8: cho tam giác BAC gồm AB = 3; BC = 3√3 cùng góc B = 300.Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Kiếm tìm mệnh đề đúng?
A. H nằm trong đoạn BC thỏa mãn: bảo hành = 2 HC
B. AH =
C. BH = 2.
D. Tất cả không nên
Lời giải
+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2.AC.BC.Cos B
= 32 + (3√3 )2 - 2.3.3√3.cos300 = 9
⇒ AC = 3 đề xuất AB = AC = 3
⇒ Tam giác BAC cân nặng tại A.
+ AH là đường cao yêu cầu đồng thời là con đường trung con đường
⇒ H là trung điểm của BC: bảo hành = CH =
+ Xét tam giác vuông AHB có: AH = AB.sinB = 3.sin300 = 1,5.
Chọn B.
C. Bài bác tập vận dụng
Câu 1: mang đến điểm A( -1; 2) và mặt đường thẳng ∆:
A. ( 1; -3) B. ( 1; 3) C. (0; 5) D. (4; 0)
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
Lấy điểm M ( t - 2; - t - 3) thuộc ∆
⇒ AM =
Ta có: ( t + 2)2 ≥ 0 với mọi t đề xuất 2( t + 2)2 + 18 ≥ 18
⇒ AM =
⇒ AM ngắn độc nhất vô nhị là √18 khi còn chỉ khi : t + 2 = 0 giỏi t = 2.
Khi đó tọa độ điểm M( 0 ; 5) .
Câu 2: Toạ độ hình chiếu của M(4; 1) trên tuyến đường thẳng d: x - 2y + 4 = 0 là:
A. (
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
Đường trực tiếp d có 1 VTPT n→(1; -2).
call H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M( 4; 1) trên phố thẳng d thì MH→(2t – 8; t - 1)
Và n→(1; -2) thuộc phương khi còn chỉ khi
Câu 3: cho tam giác ABC bao gồm A(1; 3).Gọi I(2; 1) là trung điểm của AB với J( -1; 0) là trung điểm của AC. Hotline hình chiếu của điểm A lên BC là H ( x; y). Tính x + 2y?
A. 0 B. - 1 C. 2 D. 3
Lời giải:
Đáp án: A
Trả lời:
+ bởi vì I và J thứu tự là trung điểm của AB cùng AC đề xuất IJ là mặt đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .
+ vì chưng H là hình chiếu của A lên BC
⇒ AH vuông góc BC (2).
Từ(1) cùng ( 2) suy ra: AH vuông góc IJ
+ Lập phương trình AH:
⇒ ( AH): - 3( x - 1) – 1( y - 3) = 0 giỏi 3x + y - 6 = 0.
+ Phương trình IJ:
⇒ Phương trình IJ: 1( x - 2) – 3( y - 1) = 0 tốt x - 3y + 1 = 0.
+ điện thoại tư vấn giao điểm của IJ và AH là M. Tọa độ điểm M là nghiệm hệ :
+ lại sở hữu M là trung điểm AH ( vì MI // bảo hành và I là trung điểm AB)
⇒ Tọa độ điểm H:
Câu 4: Toạ độ hình chiếu của M(- 2; 1) trê tuyến phố thẳng ∆: 2x - y + 4 = 0 là:
A. (
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
+ Đường trực tiếp ∆ có một VTPT n→( 2; -1)
hotline H( t; 2t + 4) là hình chiếu của M trên tuyến đường thẳng ∆ thì MH→( t + 2; 2t + 3)
⇒ nhị vecto MH→ với n→( 2; -1) cùng phương nên:
⇒ Tọa độ điểm H( - ; )
Câu 5: mang lại đường trực tiếp ∆:
A. (4; -2) B. (-0,8; -4,4) C. (-2,2; 4) D. (7; -4,4)
Lời giải:
Đáp án: B
Trả lời:
Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.
Ta có: H thuộc ∆ yêu cầu H( -3 + t ; -2t) ⇒ MH→( t - 5 ; 3 - 2t)
Đường thẳng bao gồm vectơ chỉ phương là u→( 1; -2) .
Do H là hình chiếu vuông góc của M bên trên ∆ nên hai tuyến phố thẳng MH với ∆ vuông góc với nhau
⇒ MH→ . U→ = 0 ⇔ 1(t - 5) – 2( 3 - 2t) = 0
⇔ t - 5 - 6 + 4t = 0 ⇔ 5t = 11 ⇔ t = 2,2
⇒ H (- 0,8; - 4,4)
Câu 6: tìm hình chiếu của A( 1; 2) xuất xứ thẳng d: x - 3y + 6 = 0
A. H( 1; 2) B. H( ; ) C. H( ; ) D. H(
Lời giải:
Đáp án: B
Trả lời:
+ đem điểm H(3t - 6; t) nằm trong d.
Ta bao gồm AH→( 3t - 7; t - 2)
Vectơ pháp tuyến của d là u→( 1; -3)
+Do H là hình chiếu của A bên trên d bắt buộc hai vecto AH→ và u→ thuộc phương :
⇔
⇔ - 9t + 21 = t - 2 ⇔ t =
+ với t = ta gồm H( ; )
Câu 7: mang lại đường thẳng ∆:
A. -0,56B. 0,32C. 1,3D. 0,85
Lời giải:
Đáp án: D
Trả lời:
Gọi H là hình chiếu của M bên trên ∆.
Xem thêm: Tìm Số Tự Nhiên Bé Nhất Thỏa Mãn Điều Kiện: Trả Lời:, Tìm Số Tự Nhiên A Lớn Nhất Thỏa Mãn A
Ta có: H ∈ ∆ cần H( 2 - 3t; 1 + 2t) và MH→( 1 - 3t; 2t - 1 )
Đường thẳng ∆có vectơ chỉ phương là u→(3; - 2) .
Hai vecto MH→ cùng u→ vuông góc cùng với nhau buộc phải : MH→ . U→ = 0
⇔ 3( 1 - 3t) – 2( 2t - 1) = 0 ⇔ 3 - 9t - 4t + 2 = 0
⇔ t = 5/13
⇒ Hoành độ của điểm H là 2 - 3t = 11/13
Câu 8: cho tam giác ABC gồm AB = 4; BC = 4√2 với góc B = 450.Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Tìm mệnh đề đúng?