Hàm số lũy thừa là những hàm số dạng (y = x^alpha left( alpha in R ight)). Những hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, phụ thuộc vào (alpha): 

- ví như (alpha) nguyên dương thì tập các định là (R).

Bạn đang xem: Điều kiện của hàm số mũ

- trường hợp (alpha ) nguyên âm hoặc (alpha = 0) thì tập những định là (Rackslash left 0 ight\).

- Nếu (alpha ) không nguyên thì tập những định là (left( 0; + infty ight)).

Chú ý: Hàm số (y = sqrt x ) có tập xác định là (left< 0; + infty ight)), hàm số (y = sqrt<3>x) có tập xác định (R), trong khi đó những hàm (y = x^frac12,y = x^frac13) đều gồm tập khẳng định ((0; +∞)). Do vậy (y = sqrt x ) và (y = x^frac12) ( tốt (y = sqrt<3>x) và (y = x^frac13)) là phần đông hàm số không giống nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy quá với số mũ tổng quát 

- Hàm số (y = x^alpha ) có đạo hàm tai đa số (x ∈ (0; +∞)) cùng (y" = left( x^alpha ight)" = alpha x^alpha - 1)

- nếu hàm số (u=u(x)) nhận quý giá dương và bao gồm đạo hàm trong khoảng (J) thì hàm số (y = u^alpha left( x ight)) cũng tất cả đạo hàm trên (J) và " = alpha u^alpha - 1left( x ight)u"left( x ight)>

3. Đạo hàm của hàm số lũy vượt với số mũ nguyên dương

Trong trường hòa hợp số nón nguyên dương, hàm số lũy thừa (y=x^n) có tập khẳng định là (R) và tất cả đạo hàm bên trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa bao quát được không ngừng mở rộng thành (forall x in R,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)> nếu (u= u(x) ) bao gồm đạo hàm trong tầm (J).


4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm

Nếu số nón là số nguyên âm thì hàm số lũy vượt (y=x^n) tất cả tập khẳng định là (Rackslash left 0 ight\) và bao gồm đạo hàm tại phần đông (x) không giống (0), cách làm đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành (forall x e 0,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)>

nếu (u= u(x) e 0) có đạo hàm trong tầm (J).

5. Đạo hàm của căn thức

Hàm số (y = sqrtx) có thể coi là mở rộng lớn của hàm lũy vượt (y = x^frac1n) (tập xác định của (y = sqrtx) chứa tập xác định của (y = x^frac1n) và bên trên tập xác minh của (y = x^frac1n) thì hai hàm số trùng nhau).

Khi (n) lẻ thì hàm số (y = sqrtx) có tập xác định (R). Trên khoảng tầm ((0; +∞) ) ta gồm (y = sqrtx = x^frac1n) và (left( x^frac1n ight)" = dfrac1nx^frac1n - 1), cho nên vì vậy (left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1).


Công thức này còn đúng cả cùng với (x 0) tính theo công thức:

< left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1>

Tóm lại, ta có ( left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1) đúng với mọi (x) tạo nên hai vế bao gồm nghĩa.

Xem thêm: Cách Tìm Cực Trị Của Hàm Số Cực Trị Của Hàm Số, Cực Trị Của Hàm Số

Sử dụng luật lệ đạo hàm hàm hợp ta suy ra: ví như (u=u(x)) là hàm tất cả đạo hàm trên khoảng tầm (J) và vừa lòng điều khiếu nại (u(x) > 0, ∀x ∈ J) lúc (n) chẵn, (uleft( x ight) e 0,forall x in J) khi (n) lẻ thì

uleft( x ight) ight)" = dfracu"left( x ight)nsqrtu^n - 1left( x ight)>

6. Đồ thị hàm số (y = x^alpha ) trên khoảng tầm ((0; +∞))

*

Chú ý: Khi điều tra khảo sát hàm số (y = x^alpha ) với (alpha ) thay thể, cần xét hàm số trên toàn tập khẳng định của nó (chứ không phải chỉ xét trên khoảng tầm ((0; +∞)) như trên).