Cách tính góc giữa mặt đường thẳng cùng mặt phẳng lớp 11

Bài toán xác định góc giữa mặt đường thẳng và mặt phẳng là 1 trong những dạng toán đặc biệt của chương trình HHKG lớp 11. Câu hỏi này cùng với các bài toán tính góc giữa 2 mặt phẳng, khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng hầu như sử dụng kỹ năng và kiến thức về mặt đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Bạn đang xem: Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. Triết lý góc giữa con đường thẳng cùng mặt phẳng

Định nghĩa góc giữa đường thẳng cùng mặt phẳng trong không gian

Nếu đường thẳng vuông góc với khía cạnh phẳng thì ta góc giữa mặt đường thẳng với mặt phẳng bằng 90°.Nếu đường thẳng không vuông góc với khía cạnh phẳng thì góc giữa con đường thẳng cùng mặt phẳng bằng góc giữa mặt đường thẳng đó với hình chiếu của nó lên khía cạnh phẳng .

Kí hiệu góc giữa mặt đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là ( left(d,(P) ight) ).

*

Nhận xét.

Góc giữa mặt đường thẳng với mặt phẳng gồm số đo thong thả ( 0^circ ) cho ( 90^circ )Đường thẳng tuy vậy song hoặc phía trong mặt phẳng thì góc thân chúng bằng ( 0^circ )

2. Cách xác minh góc giữa mặt đường thẳng cùng mặt phẳng

Bài toán. Khẳng định góc giữa con đường thẳng $d$ cùng mặt phẳng $(P)$

Trong thực tế, bọn họ ít khi gặp mặt tình huống con đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$ hoặc phía bên trong mặt phẳng $(P)$, vì khi ấy góc giữa chúng bởi $0^circ$. Còn nếu con đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì góc thân chúng bằng $90^circ$. Trường phù hợp còn lại, đường thẳng $d$ sẽ cắt và ko vuông góc cùng với $(P)$. Khi đó, họ thực hiện tại 3 bước:

Tìm giao điểm của đường thẳng $d$ với mặt phẳng $ (P)$, đưa sử là điểm $ O $;Lấy một điểm $ A$ bất kể thuộc đường thẳng $ d$ cùng tìm hình chiếu vuông góc $ H$ của $ A$ lên $left( P ight)$;Tính góc $ widehatAOH$, đây chính là góc nên tìm.

*

Chú ý. Đối cùng với hình chóp, góc giữa cạnh bên và mặt dưới là góc tạo vì 3 điểm: đỉnh — điểm chung — chân mặt đường cao hình chóp.

Ví dụ,

*

Ví dụ, hình chóp $S.ABC$ có ở bên cạnh ( SA ) vuông góc cùng với đáy. Hãy khẳng định góc giữa ( SC) cùng mặt phẳng ( (ABC) ).

đỉnh chính là điểm $S$điểm phổ biến của cạnh $SC$ và dưới đáy $(ABC)$ chính là điểm $C$chân mặt đường cao hình chóp là điểm $A$

Suy ra, góc giữa ( SC) cùng mặt phẳng ( (ABC) ) là góc ( widehatSCA ).

Tương tự, các em cũng rất có thể dễ dàng tìm kiếm được góc giữa lân cận $SB$ và mặt đáy $(ABC)$ là ( widehatSBA ).

3. Ví dụ tính góc giữa mặt đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 1. cho hình chóp $ S.ABCD $ gồm đáy $ ABCD $ là hình vuông vắn cạnh $ a $. Cạnh $ SA=asqrt6 $ với vuông góc với đáy $ (ABCD) $. Tính góc giữa:

đường trực tiếp $ SC $ cùng mặt phẳng $ (ABCD) $;đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (SAB) $;đường trực tiếp $ SB $ cùng mặt phẳng $ (SAC) $;đường thẳng $ AC $ và mặt phẳng $ (SBC) $.

*

Hướng dẫn.

Để tính góc giữa con đường thẳng $ SC $ cùng mặt phẳng $ (ABCD) $, chúng ta lần lượt triển khai 3 bước:Giao điểm của đường thẳng $ SC $ cùng mặt phẳng $ (ABCD) $ là điểm $C$.Trên đường thẳng $SC$, lựa chọn một điểm và xác định hình chiếu vuông góc của nó xuống phương diện phẳng $(ABCD)$, nghỉ ngơi đây họ chọn điểm $S$ vì thường thấy hình chiếu vuông góc của $S$ lên khía cạnh phẳng $ (ABCD) $ chính là $A$. (Do trả thiết cạnh $ SA$ cùng vuông góc với đáy $ (ABCD) $.Như vậy, góc giữa mặt đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ chính là góc $SCA$ và bọn họ đi tính số đo của góc này.Xét tam giác vuông $SAC$ có $ SA=asqrt6$ cùng $AC=asqrt2$ (do $AC$ là đường chéo cánh của hình vuông vắn cạnh $a$) nên bao gồm < an widehatSCA=fracSAAC=fracasqrt6asqrt2=sqrt3 > Suy ra ( widehatSCA = 60^circ ) với đây đó là đáp số phải tìm.Gọi $O$ là giao điểm của nhì đường chéo cánh $AC,BD$ thì minh chứng được $BO$ vuông góc cùng với $(SAC)$. Góc cần tìm là $widehatBSO$. Đáp số $ arcsinfrac1sqrt14$.
*
Trong phương diện phẳng $(SAB)$, qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc và giảm $SB$ tại $H$. Chứng minh được $AH$ vuông góc cùng với $(SBC)$ và tìm được góc giữa mặt đường thẳng $ AC $ với mặt phẳng $ (SBC) $ là $widehatACH$. Đáp số $arcsinfracsqrt217 $.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABC $ gồm đáy là tam giác rất nhiều cạnh $ a. $ bên cạnh $ SA $ bằng $ 2a $ cùng vuông góc với đáy $ (ABC). $

Tính góc giữa con đường thẳng $ SB $ với mặt phẳng $ (ABC). $Tính góc giữa mặt đường thẳng $ SC $ cùng mặt phẳng $ (SAB). $Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ SC $ với $ AC. $Tính góc giữa $ BM $ cùng mặt phẳng $ (ABC);$Tính góc giữa $ SN $ với mặt phẳng $ (SAB). $

Hướng dẫn.

*

Góc giữa con đường thẳng $ SB $ với mặt phẳng $ (ABC) $ là góc $widehatSBA$.Gọi $H$ là trung điểm $AB$ thì chứng tỏ được $CH$ vuông góc cùng với $(SAB)$. Góc giữa đường thẳng $ SC $ với mặt phẳng $ (SAB) $ là góc $CSH$.Góc giữa con đường thẳng $ BM $ cùng mặt phẳng $ (ABC)$ là $ widehatMBN $có $ anwidehatMBN=frac2sqrt33$.
*
Trong khía cạnh phẳng $(ABC)$ kẻ $NK$ vuông góc cùng với $AB$ trên $K$ ($NK$ tuy vậy song với $CH$). Thuận tiện chỉ ra được $NK$ vuông góc với $(SAB)$.Suy ra, góc giữa con đường thẳng $ SN $ với khía cạnh phẳng $ (SAB) $ là $ widehatNSK $. Tính được $ anwidehatNSK=fracsqrt3sqrt17 $ và suy ra số đo góc bắt buộc tìm.

Xem thêm: Chuyên Đề Tính Diện Tích Hình Phẳng, Ứng Dụng Của Tích Phân Tính Diện Tích Hình Phẳng

Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ gồm đáy là hình vuông vắn cạnh $ a $. Trung đường $ si mê $ của tam giác mọi $ SAB $ vuông góc với lòng $ (ABCD) $ của hình chóp. Chứng minh hai đường thẳng $ SC $ cùng $ SD $ tạo nên với khía cạnh phẳng $ (SAB) $ nhị góc bởi nhau. Tính góc giữa mặt đường thẳng $ centimet $ và mặt phẳng $ (SAB) $, trong những số ấy $ M $ là trung điểm $ SD. $

Hướng dẫn. Hai đường thẳng $ SC $ với $ SD $ cùng chế tạo ra với phương diện phẳng $ (SAB) $ góc $ 45^circ. $ Hình chiếu của điểm $ C $ lên mặt phẳng $ (SAB) $ là $ B. $ Hình chiếu của điểm $ M $ lên khía cạnh phẳng $ (SAB) $ là trung điểm $ N $ của $ SA. $ Góc giữa mặt đường thẳng $ cm $ với mặt phẳng $ (SAB) $ bằng $ 30^circ. $

Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông vắn cạnh $ a $, vai trung phong $ O $ cùng $ SO $ vuông góc với đáy. Hotline $ M, N $ lần lượt là trung điểm của những cạnh $ SA $ cùng $ BC $. Biết góc giữa đường thẳng $ MN $ cùng mặt phẳng $ (ABCD) $ bởi $ 60^circ $. Tính độ lâu năm $ MN $ và $ SO $. Tính góc giữa con đường thẳng $ MN $ cùng mặt phẳng $ (SBD) $.

Hướng dẫn. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AO $ thì $ MH $ song song cùng với $ SO $ đề nghị $ H $ là hình chóp vuông góc của $ M $ lên mặt phẳng $(ABCD)$… Đáp số $ MN=fracasqrt102,SO=fracasqrt302;sinleft(MN,(SBD) ight)=frac1sqrt5 $