Bài viết trình diễn lý thuyết, bí quyết và những ví dụ gồm lời giải chi tiết về cách thức tính thể tích khối lăng trụ, đây là dạng toán thường gặp mặt trong chương trình Hình học 12 chương 1.

Bạn đang xem: Công thức thể tích khối lăng trụ

Phương pháp tính thể tích khối lăng trụCông thức:• Thể tích khối lăng trụ: $V = B.h$.• Thể tích khối vỏ hộp chữ nhật có các cạnh $a, b, c$: $V = abc$.• Thể tích khối lập phương cạnh $a$: $V = a^3$.Để tính thể tích của khối lăng trụ ta buộc phải đi tính độ cao của lăng trụ và mặc tích đáy.

Các đặc điểm của lăng trụ:a. Hình lăng trụ• Các sát bên của hình lăng trụ tuy nhiên song và bằng nhau.• các mặt mặt của hình lăng trụ là những hình bình hành.• Hai lòng của hình lăng trụ là hai nhiều giác đều bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau.• Lăng trụ gồm các kề bên vuông góc hai lòng được hotline là lăng trụ đứng.* Các ở kề bên của lăng trụ đứng đó là đường cao của nó.* các mặt bên của lăng trụ đứng là những hình chữ nhật.• Lăng trụ đứng bao gồm đáy là nhiều giác đa số được gọi là lăng trụ đều. Những mặt bên của lăng trụ phần lớn là các hình chữ nhật bằng nhau.b. Hình hộp: Là hình lăng trụ bao gồm đáy là hình bình hành:• Hình hộp đứng bao gồm các ở kề bên vuông góc với đáy.• Hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình vỏ hộp chữ nhật.• Hình vỏ hộp chữ nhật gồm ba kích thước bằng nhau được hotline là hình lập phương.• Đường chéo của hình vỏ hộp chữ nhật tất cả ba size $a, b, c$ là: $d = sqrt a^2 + b^2 + c^2.$• Đường chéo của hình lập phương cạnh $a$ là $d = a sqrt 3.$

Các dạng toán thể tích khối lăng trụDạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáyVí dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ bao gồm cạnh $BC = asqrt 2 $ và biết $A’B = 3a$. Tính thể tích khối lăng trụ.

*

Ta có:$Delta ABC$ vuông cân nặng tại $A$ bắt buộc $AB = AC = a.$$ABC.A’B’C’$ là lăng trụ đứng $ Rightarrow AA’ ot AB$, vì vậy $Delta AA’B$ vuông tại $A$ nên: $AA‘^2 = A"B^2 – AB^2 = 8a^2$ $ Rightarrow AA’ = 2asqrt 2 .$Vậy $V = S_Delta ABC.AA’ = a^3sqrt 2 .$

Ví dụ 2: đến lăng trụ tứ giác những $ABCD.A’B’C’D’$ có ở kề bên bằng $4a$ và đường chéo cánh $5a$. Tính thể tích khối lăng trụ này.

*

$ABCD.A’B’C’D’$ là lăng trụ đứng cần $ΔBDD’$ vuông trên $D$, vì chưng đó: $BD^2 = BD’^2 – DD’^2 = 9a^2$ $ Rightarrow BD = 3a.$$ABCD$ là hình vuông vắn $ Rightarrow AB = frac3asqrt 2 .$Suy ra $S_ABCD = frac9a^24.$Vậy $V = S_ABCD.AA’ = 9a^3.$

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ là tam giác rất nhiều cạnh $a = 4$ cùng biết diện tích tam giác $A’BC$ bởi $8$. Tính thể tích khối lăng trụ.

*

Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Ta có:$ΔABC$ rất nhiều nên $AI = fracABsqrt 3 2 = 2sqrt 3 $ và $AI ot BC$ $ Rightarrow A’I ot BC$ (theo định lý cha đường vuông góc).$S_A’BC = frac12BC.A’I$ $ Rightarrow A’I = frac2S_A’BCBC = 4.$$AA’ ot (ABC) Rightarrow AA’ ot AI.$$Delta A’AI$ vuông trên $A$ nên $ Rightarrow AA’ = sqrt A"I^2 – AI^2 = 2.$Vậy: $V_ABC.A’B’C’ = S_ABC.AA’ = 8sqrt 3 .$

Ví dụ 4: Cho hình vỏ hộp đứng tất cả đáy là hình thoi cạnh $a$ và gồm góc nhọn bằng $60°.$ Đường chéo cánh lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp.

*

Xác định các điểm như hình vẽ.Ta có tam giác $ΔABD$ đều nên $BD = a$, $S_ABCD = 2S_ABD = fraca^2sqrt 3 2.$Theo đề bài bác $BD’ = AC = 2fracasqrt 3 2 = asqrt 3 .$$Delta DD’B$ vuông trên $D$ $ Rightarrow DD’ = sqrt BD‘^2 – BD^2 = asqrt 2 .$Vậy $V = S_ABCD.DD’ = fraca^3sqrt 6 2.$

Dạng 2: Lăng trụ đứng gồm góc giữa con đường thẳng và mặt phẳngVí dụ 5: mang lại lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $B$ cùng với $BA = BC = a$, biết $A’B$ hợp với đáy $ABC$ một góc $60°.$ Tính thể tích lăng trụ.

*

Ta có $A’A ot (ABC)$ phải $AB$ là hình chiếu của $A’B$ trên đáy $(ABC)$, suy ra góc $left( widehat A’B,(ABC) ight) = widehat ABA’ = 60^o.$$A’A ot AB$ nên $Delta ABA’$ vuông tại $A$ $ Rightarrow AA’ = AB. an 60^0 = asqrt 3 .$$S_ABC = frac12BA.BC = fraca^22.$Vậy $V = S_ABC.AA’ = fraca^3sqrt 3 2.$Ví dụ 6: Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ bao gồm đáy $ABC$ là tam giác vuông trên $A$ với $AC = a$, $widehat ACB = 60^o$, biết $BC’$ phù hợp với $(AA’C’C)$ một góc $30°$. Tính $AC’$ cùng thể tích lăng trụ.

*

$Delta ABC$ vuông tại $A$ $ Rightarrow AB = AC. an 60^o = asqrt 3 .$Ta có: $AB ot AC; AB ot AA’$ $ Rightarrow AB ot (AA’C’C)$ nên $AC’$ là hình chiếu của $BC’$ bên trên $(AA’C’C).$Do đó $widehat left( BC’;left( AA’C’C ight) ight) = widehat BC’A = 30°.$$Delta AC’B$ vuông trên $A$ $ Rightarrow AC’ = fracABmathop m t olimits man30^o = 3a.$$Delta AA’C’$ vuông trên $A’$ $ Rightarrow AA’ = sqrt AC’^2 – A’C’^2 = 2asqrt 2 .$$S_ABC = frac12AB.AC = fraca^2sqrt 3 2.$Vậy $V = S_ABC.AA’ = a^3sqrt 6 .$

Ví dụ 7: cho lăng trụ đứng $ABCD.A’B’C’D’$ gồm đáy $ABCD$ là hình vuông vắn cạnh $a$ với đường chéo $BD’$ của lăng trụ hợp với đáy $ABCD$ một góc $30°$. Tính thể tích cùng tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ.

*

Ta có $ABCD.A’B’C’D’$ là lăng trụ đứng đề nghị $BD$ là hình chiếu của $BD’$ bên trên $(ABCD).$Suy ra $widehat left( BD’;left( ABCD ight) ight) = widehat DBD’ = 30^o.$$Delta BDD’$ vuông tại $D$ $ Rightarrow DD’ = BD. an 30^0 = fracasqrt 6 3.$Vậy $V = S_ABCD.DD’ = fraca^3sqrt 6 3.$$S = 4S_ADD’A’ = frac4a^2sqrt 6 3.$

Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳngVí dụ 8: mang đến lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ bao gồm đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ với $BA = BC = a$, biết $(A’BC)$ hợp với đáy $(ABC)$ một góc $60°$.Tính thể tích lăng trụ.

*

Ta có: $AA’ ot (ABC) Rightarrow BC ot AA’.$Mà $BC ot AB$ nên $BC ot (ABA’).$Suy ra $BC ot A’B.$Do đó $widehat left( (A’BC),(ABC) ight) = widehat ABA’ = 60^o.$$Delta ABA’$ vuông tại $A$ nên $AA’ = AB. an 60^0 = asqrt 3 .$$S_ABC = frac12BA.BC = fraca^22.$Vậy $V = S_ABC.AA’ = fraca^3sqrt 3 2.$

Ví dụ 9: Đáy của lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ là tam giác đều. Phương diện phẳng $(A’BC)$ sản xuất với đáy một góc $30°$ và diện tích tam giác $A’BC$ bằng $8$. Tính thể tích khối lăng trụ.

*

Gọi $I$ là trung điểm của $BC.$$Delta ABC$ những $ Rightarrow AI ot BC$, mà $AA’ ot (ABC)$ nên $A’I ot BC$ (định lý $3$ đường vuông góc).Do đó: $widehat left( left( A’BC ight);left( ABC ight) ight) = widehat A’IA = 30^o.$Giả sử $BI = x$, suy ra $AI = x sqrt 3$.Ta có: $ΔA’AI$ vuông trên $A$ yêu cầu $A’I = AI.cos30° = 2x$ với $A’A = AI. an 30° = x.$$S_A’BC = BI.A’I = x.2x = 8$, suy ra $x = 2.$Vậy $V_ABC.A’B’C’ = BI.AI.A’A = 8√3 .$

Ví dụ 10: Cho hình vỏ hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ tất cả $AA’ = 2a$; mặt phẳng $(A’BC)$ phù hợp với đáy $(ABCD)$ một góc $60°$và $A’C$ hợp với đáy $(ABCD)$ một góc $30°$.Tính thể tích khối vỏ hộp chữ nhật.

*

Ta có $AA’ ot (ABCD)$, suy ra $AC$ là hình chiếu của $A’C$ trên $(ABCD).$Nên $widehat left( A’C,left( ABCD ight) ight) = widehat A’CA = 30^o.$$BC ot (ABB’A’)$ nên $widehat left( A’BC ight),left( ABCD ight) = widehat A’BA = 60^o.$$Delta A’AC$ vuông trên $A$ nên $AC = AA’.cot30^o = 2asqrt 3 .$$Delta A’AB$ vuông tại $A$ nên $AB = AA’.cot60^o = frac2asqrt 3 3.$$Delta ABC$ vuông tại $B$ nên $ Rightarrow BC = sqrt AC^2 – AB^2 = frac4asqrt 6 3.$Vậy: $V = AB.BC.AA’ = frac16a^3sqrt 2 3.$

Dạng 4: Khối lăng trụ xiênVí dụ 11: cho lăng trụ xiên tam giác $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, biết cạnh bên là $asqrt 3 $ và hợp với đáy $ABC$ một góc $60°$. Tính thể tích lăng trụ.

Xem thêm: 60 Câu Trắc Nghiệm Đồ Thị Hàm Số Bậc Ba Có Đáp Án Pdf, 60 Câu Trắc Nghiệm Đồ Thị Hàm Số Có Đáp Án

*

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C’$ lên $(ABC)$.Khi đó $widehat left( CC’,(ABC) ight) = widehat C’CH = 60^o.$$Delta CHC’$ vuông trên $H$ $ Rightarrow C’H = CC’.sin 60^0 = frac3a2.$$S_ABC = fraca^2sqrt 3 4.$Vậy $V = S_ABC.C’H = frac3a^3sqrt 3 8.$

Ví dụ 12: Cho lăng trụ xiên tam giác $ABC.A’B’C’$ bao gồm đáy $ABC$ là tam giác hồ hết cạnh $a$. Hình chiếu của $A’$ xuống $(ABC)$ là trọng điểm $O$ đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ biết $AA’$ hợp với đáy $(ABC)$ một góc $60°.$1. Chứng minh rằng $BB’C’C$ là hình chữ nhật.2. Tính thể tích lăng trụ.

*

1. Ta có $BB’C’C$ là hình bình hành vày là mặt mặt của lăng trụ.Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, do tam giác $ΔABC$ đều cần $O ∈ AH.$Ta có: $BC ot AH$ và $BC ot A’O$ yêu cầu $BC ot (AAH)’$, cho nên vì thế $BC ot A’A.$Mà $AA’ // BB’$, vì thế $BC ot BB’$, suy ra $BB’C’C$ là hình chữ nhật.2. $Delta ABC$ số đông nên $AO = frac23AH = frac23fracasqrt 3 2 = fracasqrt 3 3.$$Delta AOA’$ vuông tại $O$ $ Rightarrow A’O = AO an 60^o = a.$Vậy $V = S_ABC.A’O = fraca^3sqrt 3 4.$

Ví dụ 13: cho hình vỏ hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình chữ nhật cùng với $AB = sqrt 3$, $AD = sqrt 7$. Hai mặt mặt $(ABB’A’)$ cùng $(ADD’A’)$ lần lượt chế tác với đáy gần như góc $45°$ và $60°$. Tính thể tích khối hộp giả dụ biết kề bên bằng $1.$

*

Kẻ $A’H ot (ABCD)$, $HM ot AB$, $HN ot AD$ (các điểm nằm trên những đường thẳng với mặt phẳng như hình vẽ).Khi kia $A’M ot AB$ với $A’N ot AD.$Suy ra: $ widehat A’MH = 45^o, widehat A’NH = 60^o.$Đặt $A’H = x$.$ΔA’HN$ vuông trên $H$ yêu cầu $A’N = x : sin 60° = frac2xsqrt 3 .$$ΔA’AN$ vuông tại $N$ nên $AN = sqrt AA‘^2 – A"N^2 = sqrt frac3 – 4x^23 .$$ΔA’MH$ vuông tại $H$ nên $HM = x.cot45^0 = x.$Vì tứ giác $AMHN$ là hình chữ nhật yêu cầu $AN = MH$, suy ra: $sqrt frac3 – 4x^23 = x$ $ Leftrightarrow x = sqrt frac37 .$Vậy $V_ABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.A’H = 3.$