Để xác định góc giữa mặt đường thẳng cùng mặt phẳng trong không khí Oxyz ta bao gồm 2 cách. Một cách bạn được học tập trong hình học không gian lớp 11 và 1 cách bạn được học ở hình học không gian tọa độ lớp 12. Phụ thuộc vào dữ kiện việc cho cơ mà ta sử dụng cách 1 hoặc biện pháp 2. Bài viết này đang hệ thống vừa đủ lý thuyết của 2 cách và bài bác tập minh họa có giải mã chi tiết.
Bạn đang xem: Công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
A. Lý thuyết góc giữa con đường thẳng cùng mặt phẳng
Trong không khí Oxyz, bao gồm đường trực tiếp a với mặt phẳng (Q)
1. Định nghĩa
Gọi a’ là hình chiếu của a xuống mặt phẳng (Q), góc φ được tạo vị giữa hai đường thẳng a và a’ đó là góc của đường thẳng a với mặt phẳng (Q).
Nếu a ⊥ (Q) thì $widehat left( a,left( Q ight) ight)$ = 90.Góc tạo bởi giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thỏa mãn: 0 ≤ $widehat left( a,left( Q ight) ight)$ ≤ 90.2. Cách xác minh góc giữa đường thẳng cùng mặt phẳng vào hình học 11
Để xác định được góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a thì ta làm cho như sau:
Bước 1: tìm giao điểm O = a ∩ (Q)Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (Q)Bước 3: Góc (widehat AOA’ = varphi ) chính là góc giữa mặt đường thẳng a và (Q).Để dựng hình chiếu A’ của điểm A bên trên (Q) ta chọn 1 đường thẳng b ⊥ (Q) khi ấy AA’ // b.
Để tính góc φ ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ΔOAA’
2. Công thức khẳng định góc giữa con đường thẳng và mặt phẳng vào hình học tập 12
Công thức: $sinvarphi = sin left( widehat a,(Q) ight) = left| cos left( overrightarrow n ;overrightarrow u ight) ight| = frac vec u.vec n ightleft$
Trong đó:
$overrightarrow n $ là vecto pháp con đường của phương diện phẳng (Q).$overrightarrow u $ là vecto chỉ phương của mặt đường thẳng a.Nếu như VTPT của (Q): $overrightarrow n $ = ( A; B; C) và VTCP của a: $overrightarrow u $ = ( a; b; c) thì góc được xác định theo công thức:
B. Bài tập có giải mã chi tiết
Bài tập 1. Mang lại đường trực tiếp a: $fracx + 1 – 3 = fracy + 51 = fracz – 12$ cùng mặt phẳng (Q): x – 2y + z + 4 = 0. Hãy tính góc giữa mặt đường thẳng a cùng mặt phẳng (Q).
Hướng dẫn giải
Theo đề bài:
đường thẳng a tất cả vecto chỉ phương: $overrightarrow u $ = ( – 3; 1; 2)mặt phẳng (Q) gồm vecto pháp tuyến: $overrightarrow n $ = ( 1; – 2; 1)Góc thân mặt phẳng (Q) và đường thẳng a:
$sinvarphi = frac 1.left( – 3 ight) + left( – 2 ight).1 + 1.2 ightsqrt 1^2 + left( – 2 ight)^2 + 1^2 .sqrt left( – 3 ight)^2 + 1^2 + 2^2 = fracsqrt 21 14$
Kết luận: φ ≈ 19.
Bài tập 2. Trong không gian Oxyz tất cả đường trực tiếp d: $left{ eginarray*20l x = 2 – t\ y = 1 – 2t\ z = – 3 + t endarray ight.$ với mặt phẳng (Q): – x + y – 2z + 3 = 0. Kiếm tìm m nhằm góc tạo vì chưng a cùng (Q) bằng 30.
Hướng dẫn giải
Theo đề bài:
đường thẳng a có vecto chỉ phương: $overrightarrow u $ = ( – 1; – 2; 1)mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: $overrightarrow n $ = ( – 1; 1; – 2)Áp dụng cách làm (*):
$sinvarphi = fracsqrt left( – 1 ight)^2 + left( 1 ight)^2 + left( – 2 ight)^2 .sqrt left( – 1 ight)^2 + left( – 2 ight)^2 + 1^2 = frac12$
Kết luận: φ = 30.
Xem thêm: Công Thức Tính Bán Kính Mặt Cầu Ngoại Tiếp Hình Chóp Đều, Hình Chóp Tứ Giác Đều
Bài tập 3. Trong không khí Oxyz có một đường trực tiếp a cùng mặt phẳng (P). Biết phương trình con đường thẳng d: $left{ eginarrayl x = 2 – mt\ y = 1 – 2t\ z = – 3 + t endarray ight.$ với phương trình phương diện phẳng (Q): – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) bằng 30.
Hướng dẫn giải
Theo đề bài:
đường thẳng a tất cả vecto chỉ phương: $overrightarrow u $ = ( – m; – 2; 1)mặt phẳng (Q) tất cả vecto pháp tuyến: $overrightarrow n $ = ( – 1; 1; – 2)$widehat a,(Q) = 30^0$ $ Rightarrow sin left( widehat a,(Q) ight)$$ = sin left( 30^0 ight) = frac12$Áp dụng công thức (*):
$frac12 = fracsqrt left( – 1 ight)^2 + left( 1 ight)^2 + left( – 2 ight)^2 .sqrt left( – m ight)^2 + left( – 2 ight)^2 + 1^2 $$ Leftrightarrow frac12 = frac m – 4 ightsqrt 6 .sqrt m^2 + 5 Rightarrow left< eginarrayl m = 1\ m = – 17 endarray ight.$