Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| z-1 \right|=\sqrt{2}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(T=\left| z+i \right|+\left| z-2-i \right|\)


Tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện \(\left| z-1 \right|=\sqrt{2}\) là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( 1;0 \right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\).

Bạn đang xem: Cho số phức z thoả mãn |z|=1. tìm gtln gtnn của biểu thức p=|1+z|+3|1-z|.

\(T=\left| z+i \right|+\left| z-2-i \right|=\left| z-\left( -1 \right) \right|+\left| z-\left( 2+i \right) \right|\)

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z, \(A\left( 0;-1 \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức \(-i\), \(B\left( 2;1 \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức \(2+i\). Dễ thấy \(A,B\in \left( C \right)\) và \(AB=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{2}=2R\Rightarrow AB\) là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\Rightarrow \Delta MAB\) vuông tại M \(\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=8\Rightarrow MB=\sqrt{8-M{{A}^{2}}}\)


*

Ta có: \(T=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA} \right|+\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB} \right|=MA+MB=MA+\sqrt{8-M{{A}^{2}}}\)

Đặt \(MA=x\,\,\left( 0\le x\le 2\sqrt{2} \right)\), xét hàm số \(f\left( x \right)=x+\sqrt{8-{{x}^{2}}}\) trên \(\left< 0;2\sqrt{2} \right>\) ta có:

\(f'\left( x \right)=1-\frac{x}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}=\frac{\sqrt{8-{{x}^{2}}}-x}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow \sqrt{8-{{x}^{2}}}=x\Leftrightarrow 8-{{x}^{2}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow x=2\)

\(\begin{align} & f\left( 0 \right)=\sqrt{2},\,\,f\left( 2\sqrt{2} \right)=2\sqrt{2};\,\,f\left( 2 \right)=4 \\ & \Rightarrow \underset{\left< 0;2\sqrt{2} \right>}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=4 \\ \end{align}\)

Vậy \(\max T=4\).


Đáp án cần chọn là: d


...

Bài tập có liên quan


Tổng hợp câu hay và khó chương 4 phần 4 Luyện Ngay
*
*
*
*
*
*
*
*

Câu hỏi liên quan


Cho số phức thỏa mãn \(\left| z-2i \right|\le \left| z-4i \right|\) và \(\left| z-3-3i \right|=1.\) Giá trị lớn nhất của \(P=\left| z-2 \right|\) là


Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z}^{2}}-2z+5 \right|=\left| \left( z-1+2i \right)\left( z-1+3i \right) \right|\) và \(w=z-2+2i\) giá trị nhỏ nhất của \(\left| w \right|\) bằng ?


Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| z-1 \right|=\sqrt{2}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(T=\left| z+i \right|+\left| z-2-i \right|\)


Xét số phức z thỏa mãn \(\left( 1+2i \right)\left| z \right|=\dfrac{\sqrt{10}}{z}-2+i\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?


Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z-2+3i \right|+\left| z+2+i \right|=4\sqrt{5}\). Tính GTLN của \(P=\left| z-4+4i \right|\)


Xét các số phức \(z=a+bi,\,\,\left( a;b\in R \right)\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \(\left| z \right|=\left| \overline{z}+4-3i \right|\) và \(\left| z+1-i \right|+\left| z-2+3i \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị \(P=a+2b\) là:


Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}.\) Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất biểu thức \(P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}.\)


Cho hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=2,\,\,\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}\). Gọi M, N là các điểm biểu diễn cho \({{z}_{1}}\) và \(i{{z}_{2}}\). Biết \(\widehat{MON}={{30}^{0}}\). Tính \(S=\left| z_{1}^{2}+4z_{2}^{2} \right|\) ?


Cho hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+1-i \right|=2\) và \({{z}_{2}}=i{{z}_{1}}\). Tìm giá trị lớn nhất m của biểu thức \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\).


Cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| z-1-i \right|+\left| z+1+3i \right|=6\sqrt{5}\). Giá trị lớn nhất của \(\left| z-2-3i \right|\) là


Biết số phức z thỏa mãn \(\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\) và biểu thức \(T={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}\) đạt giá trị lớn nhất. Tính \(\left| z \right|\)?


Cho hai số phức z, w thỏa mãn \(\left\{ \begin{align} \left| z-3-2i \right|\le 1 \\ \left| \text{w}+1+2i \right|\le \left| \text{w}-2-i \right| \\ \end{align} \right.\). Tìm GTNN \({{P}_{\min }}\) của biểu thức \(P=\left| z-\text{w} \right|\).

Xem thêm: Thiết Diện Qua Trục Của Hình Nón Cực Hay, Cách Xác Định Thiết Diện Của Hình Nón Cực Hay


Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| {{z}^{2}}+1 \right|=2\left| z \right|\), gọi \(z_1\) và \(z_2\) lần lượt là các số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Khi đó môđun lớn nhất của số phức \(w={{z}_{1}}+{{z}_{2}}\) là:


Cho hai số phức \({{z}_{1}};{{z}_{2}}\) thỏa mãn điều kiện \(2\left| \overline{{{z}_{1}}}+i \right|=\left| \overline{{{z}_{1}}}-{{z}_{1}}-2i \right|\) và \(\left| {{z}_{2}}-i-10 \right|=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\) ?


Cho hai số phức \({{z}_{1}},\,\,{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}-3i+5 \right|=2\) và \(\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=4.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=\left| 2i{{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|.\)


*

Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần công nghệ giáo dục Thành Phát


Tel: 0247.300.0559

gmail.com

Trụ sở: Tầng 7 - Tòa nhà Intracom - Trần Thái Tông - Q.Cầu Giấy - Hà Nội

*

Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 240/GP – BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông.