Tính diện tích s hình phẳng là 1 ứng dụng quan trọng đặc biệt của tích phân trong công tác toán phổ thông. Vậy diện tích s hình phẳng là gì? các dạng bài tập tìm diện tích s hình phẳng? biện pháp tìm diện tích s hình phẳng như nào? Trong bài viết dưới trên đây amiralmomenin.net để giúp bạn tổng hợp kỹ năng về chủ thể này nhé!


Mục lục

2 cách làm tính diện tích s hình phẳng cơ bản3 phương pháp tính diện tích s hình phẳng nâng cao3.2 diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

Diện tích hình phẳng là gì?

Trong cuộc sống thực tiễn cũng tương tự khoa học tập kĩ thuật thì bọn họ cần nên tính diện tích của những hình phẳng phức hợp mà những công thức thông thường không thể tính toán được. Ví dụ: diện tích của mặt hồ nước tự nhiên, thiết diện cắt theo đường ngang của một dòng sông… vì thế ta cần vận dụng tích phân để rất có thể tính được diện tích của không ít hình tinh vi đó.

Bạn đang xem: Bài tập tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường


Công thức tính diện tích s hình phẳng cơ bản

Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số và các trục tọa độ

Nếu hàm số (y=f(x)) thường xuyên trên đoạn () thì diện tích s (S) của hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai đường thẳng (x=a , x=b ) là :

(S=int_a^b |f(x)|dx)

Ví dụ:

Tính diện tích s ( S ) của hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật thị hàm số ( y=x^3 -x ) , đường thẳng ( x=2 ), trục tung với trục hoành

Cách giải:

Vì trục tung tất cả phương trình tọa độ là ( x=0 ) nên vận dụng công thức nêu bên trên ta bao gồm :

(S=int_0^2 |x^3-x|dx)

Vì (left{eginmatrix x^3-x leq 0 hspace5mm forall hspace5mm 0 leq x leq 1\ x^3-x geq 0 hspace5mm forall hspace5mm 1 leq x leq 2 endmatrix ight.)

Nên ta bao gồm :

(S = int_0^1(x-x^3)dx + int_1^2 (x^3-x)dx)

(S = (fracx^22-fracx^44) igg|_0^1 + (fracx^44-fracx^22) igg|_1^2)

(S = frac14 + frac94 =frac52) (đvdt)

Công thức tổng quát tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ dùng thị 

Công thức tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( y=f(x) ) , ( y=g(x) ) liên tục trên ( ) và hai tuyến phố thẳng ( x=a ) , ( x=b ) :

(S=int_a^b |f(x)-g(x)|dx)

Ví dụ:

Tìm diện tích hình phẳng ( S ) được giới hạn bởi thứ thị nhị hàm số ( y= x^2+2 ) với ( y = 3x )

Cách giải:

Đầu tiên, ta vẫn hoành độ giao điểm của nhị hàm số trên bằng phương pháp giải phương trình :

( x^2 +2 =3x )

(Leftrightarrow x^2-3x+2 =0 Leftrightarrow (x-1)(x-2) =0)

(Leftrightarrow left{eginmatrix x=1\ x=2 endmatrix ight.)

Vậy hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi trang bị thị của nhì hàm số ( y= x^2+2 ) , ( y = 3x ) và hai tuyến phố thẳng ( x=1 ) , ( x=2 )

Áp dụng cách làm trên ta có:

(S= int_1^2 | x^2-3x+2|dx)

(=int_1^2(3x-x^2-2)dx)

(=(frac3x^22 -fracx^33 -2x) igg|_1^2=frac16) (đvdt)

Công thức tính diện tích s hình phẳng nâng cao

Công thức tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi 3 hàm số

Bài toán để ra: Tính diện tích hình phẳng (S) được giới hạn bởi đồ vật thị ba hàm số : (y=f(x) ;y=g(x); y=h(x))

*

Các bước làm như sau:

Bước 2: diện tích hình phẳng (S) sẽ tiến hành tính theo bí quyết :

(S = int_x_1^x_2|u(x)|dx + int_x_2^x_3 |v(x)| dx)

Với (u(x)) là hàm số của phương trình tìm kiếm ( x_1 )

( v(x) ) là hàm số của phương trình tìm kiếm ( x_2 ) 

 Ví dụ:

Tính diện tích s hình phẳng S được giới hạn bởi bố hàm số : ( y= 3^x ) , ( y= 4-x ) , ( y=1 )

Cách giải:

Ta tìm hoành độ giao điểm của từng cặp hàm số :

(left{eginmatrix 3^x = 4-x Rightarrow x=1\ 3^x =1 Rightarrow x=0 \ 4-x = 1 Rightarrow x=3 endmatrix ight.)

Vậy vận dụng công thức bên trên ta bao gồm :

(S= int_0^1|3^x -1 |dx + int_1^3 |4-x-1|dx)

(= (frac3^xln 3-x) igg |_0^1 + (3x-fracx^22)igg |_1^3)

(= (frac3^xln 3-x) igg |_0^1 + (3x-fracx^22)igg |_1^3 =frac2ln 3+1) (đvdt)

Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi parabol

Diện tích hình phẳng bị số lượng giới hạn bởi parabol và mặt đường thẳng

Cho Parabol ( y = ax^2 + bx +c ) với ( b^2-4ac >0 ). Lúc đó diện tích hình phẳng ( S ) được giới hạn bởi đồ thị của Parabol với trục hoành được tính như sau :

(S=int_x_1^x_2(ax^2+bx+c)dx)

Với ( x_1;x_2 ) là nhị nghiệm của Parabol

Bằng cách biến hóa đơn giản thực hiện định lí Vi-ét, từ phương pháp trên ta sẽ có được :

(S^2=frac(b^2-4ac)^336a^4) hay (S=frac(b^2-4ac)sqrtb^2-4ac6a^2)

Công thức này hay được áp dụng trong số bài toán trắc nghiệm yêu cầu tính toán nhanh!

Ví dụ:

Tính diện tích hình phẳng ( S ) được giới hản vị Parabol ( y=x^2-5x +6 ) và trục hoành

Cách giải:

Áp dụng phương pháp trên với ( a=1 : b= -5 ; c=6 ) ta có:

(S=frac(b^2-4ac)sqrtb^2-4ac6a^2 = frac16) (đvdt)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường tròn

Với dạng toán này , ta đề nghị vẽ hình sơ cỗ để dấn diện được hình phẳng phải tính diện tích rồi tiếp nối sử dụng những công thức cơ bản nêu trên để tính toán thích hợp.

Chú ý: cùng với dạng bài xích này khi nên tính tích phân chúng ta sẽ yêu cầu sử dụng phương thức đổi phát triển thành số nhằm tính được tích phân đề xuất tìm. 

Ví dụ:

Tìm diện tích hình phẳng ( S ) được giới hạn bởi Parabol (y= sqrt2x) và con đường tròn (x^2 + y^2 =8)

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của Parabol và đường tròn là nghiệm của hệ phương trình :

(left{eginmatrix y=sqrt2x\ x^2+y^2=8 endmatrix ight.) với ( x geq 0 )

(Rightarrow x^2+2x-8=0 Rightarrow (x-2)(x+4)=0)

(Rightarrow left<eginarrayl x=2 \ x=-4 endarray ight.)

Vì ( x geq 0 ) nên ( x=2 )

Hoành độ giao điểm của con đường tròn với trục hoành là điểm (x= 2sqrt2) và (x= -2sqrt2)

Qua hình vẽ ta thấy ( S ) được chia thành hai phần gồm:

( S_1 ) là phần tô color vàng

( S_2 ) là phần tô color đỏ

( S= S_1 + S_2 )

*

( S_1 ) là hình phẳng được giới hạn bởi Parabol (y= sqrt2x) và hai tuyến đường thẳng ( x=0 ; x=2 ) . Vậy

(S_1 = 2int_0^2sqrt2x hspace2mm dx = 2. frac2sqrt23 xsqrtx igg |_0^2 =frac83)

( S_2 ) là hình phẳng được giới hạn bởi con đường tròn (x^2 + y^2 =8) và hai tuyến phố thẳng (x=2 ; x=2sqrt2). Vậy

(S_2= 2 int_2^2sqrt2 sqrtx^2-8 hspace2mm dx)

Đặt (x= 2sqrt2sin t) với (0 leq t leq fracpi2)

(Rightarrow dx = 2sqrt2 cos t hspace2mmdt)

(Rightarrow S_2 =2 int_fracpi4^fracpi22sqrt2.sqrt8-8 sin ^2 t. cos t hspace2mm dt)

(=16int_fracpi4^fracpi2cos^2t hspace2mm dt)

(=8int_fracpi4^fracpi2 (1+ cos 2t)dt)

(=8(t+fracsin 2t2) igg |_fracpi4^fracpi2 =2pi -4)

Vậy (S=S_1 + S_2 = 2pi + frac43) (đvdt)

Chú ý: Qua những ví dụ trên ta nhận ra công thức tính diện tích tổng quát (S=int_a^b |f(x)-g(x)|dx) được thực hiện ở phần lớn các bài xích toán. Vì chưng vậy đấy là một phương pháp cơ bản quan trọng mà chúng ta cần ghi nhớ.

Bài viết trên trên đây của amiralmomenin.net đã giúp bạn tổng hợp định hướng về các công thức diện tích s hình phẳng bởi tích phân cũng giống như một số dạng bài tập tính diện tích hình phẳng.

Xem thêm: Cách Tìm Tọa Độ Hình Chiếu Của Điểm Trên Đường Thẳng, Tìm Hình Chiếu Vuông Góc Của Điểm Lên Đường Thẳng

Hy vọng những kỹ năng và kiến thức trong nội dung bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quy trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!