Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

Bạn đang xem: Bài tập mũ và logarit có lời giải

2. Phương trình lôgarit cơ bản

• loga x = b ⇔ x = ab (0 a f(x) = loga g(x) 

*

3. Các bước giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

* Bước 1. Tìm điều kiện của phương trình (nếu có).

* Bước 2. Sử dụng định nghĩa và các tính chất của lôgarit để đưa các lôgarit có mặt trong phương trình về cùng cơ số.

* Bước 3.Biến đổi phương trình về phương trình lôgarit cơ bản đã biết cách giải.

* Bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Ví dụ 1: Tính các giá trị sau: 

*

Lời giải

*

Ví dụ 2:

*

Lời giải

*

Ví dụ 3: Giải phương trình

*

Lời giải

*

Tập nghiệm của phương trình đã cho là {1;2}.

Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa

Phương trình loga=logb (với a>0;a≠1)

Ta đặt loga=logb=t

*

Khử x trong hệ phương trình để thu được phương trình ẩn t, giải pt này tìm t, từ đó tìm x

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) log3(x+1)=log2x. 

b) log5x=log7(x+2).

Lời giải

*

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

*

Lời giải:

*

Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Giải phương trình: f = 0 (0 ag(x) (*).

• Bước 2: Tìm điều kiện của t (nếu có).

• Bước 3: Đưa về giải phương trình f(t) = 0 đã biết cách giải.

•Bước 4: Thay vào (*) để tìm x.

Một số lưu ý quan trọng khi biến đổi

1) logaf2(x) = 2loga|f(x)|

2) logaf2k(x) = 2kloga|f(x)|

3) logaf2k+1(x) = (2k+1)logaf(x)

4) loga(f(x)g(x)) = loga|f(x)| + loga|g(x)|

*
*
*

Ví dụ 3:Giải phương trình

*

Lời giải:

*

Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit 

Giả sử phương trình có dạng f(x) = g(x) (*)

• Bước 1: Nhẩm được một nghiệm x0 của phương trình (thông thường chọn nghiệm lân cận 0).

• Bước 2: Xét các hàm số y = f(x)(C1) và y = g(x)(C2). Ta cần chứng minh một hàm đồng biến và một hàm nghịch biến hoặc một hàm đơn điệu và một hàm không đổi. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Hoặc đưa phương trình về dạng f(x) = 0

• Bước 1: Nhẩm được hai nghiệm x1; x2 của phương trình (thường chọn nghiệm lân cận 0).

• Bước 2: Xét các hàm số y = f(x). Ta cần chứng minh f"(x) = 0 có nghiệm duy nhất và f"(x) đổi dấu khi đi qua nghiệm đó. Từ đây suy ra phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm.

Hoặc:

• Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v) .

• Bước 2: Chứng minh hàm f(x)là hàm đơn điệu, suy ra u = v

Ví dụ 1: Giải phương trình log3 (x+2) + log7 (3x+4) = 2

Lời giải

*

Phương trình có một nghiệm x = 1

f(x) = log3(x+2) + log7(3x+4) ⇒ f"(x) > 0, nên f(x) đồng biến trên tập xác định ;g(x)=2là hàm hằng. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1

Ví dụ 2: Giải phương trình log2 (x2-x-6)+x=log2 (x+2)+4

Lời giải

*

Phương trình (2)có một nghiệm x = 4

f(x) = log2(x-3), đồng biến trên tập xác định; g(x) = 4-x nghịch biến trên tập xác định. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 4.

Ví dụ 3:

Giải phương trình

*

Lời giải

*

⇔ log2 (x2-x+1)-log2 (2x2-4x+3) = x2-3x+2 ⇔ log2 (x2-x+1) + (x2-x+1) = log2 (2x2-4x+3)+(2x2-4x+3) (3)

Xét hàm số f(t) = log2 t+t có f"(t) > 0 nên hàm số đồng biến trên tập xác định. Khi đó có f(x2-x+1) = f(2x2-4x+3) ⇒ x2-x+1 = 2x2-4x+3 ⇔ x2-3x+2=0

*

Nên phương trình đã cho có tập nghiệm là {1;2}

Dạng 5: Cách giải phương trình logarit chứa tham số

♦ Dạng toán Tìm m để phương trình có số nghiệm cho trước:

• Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f(x)=A(m).

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D.

• Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A(m) để đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x).

• Bước 4. Kết luận các giá trị của A(m) để phương trình f(x)=A(m) có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D.

♦ Lưu ý

• Nếu hàm số y=f(x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị A(m) cần tìm là những m thỏa mãn:

*

• Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại k điểm phân biệt.

Hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai với lưu ý sau.

♦ Nhắc lại: Phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn

*

Hoặc sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai:

*

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tham số thực m để phương trình: log23 x+log3x+m = 0 có nghiệm.

Lời giải

Tập xác định D=(0;+∞).

Đặt log3x=t. Khi đó phương trình trở thành t2+t+m=0 (*)

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (*) có nghiệm: Δ=1-4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/4.

Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: m ≤ 1/4.

Xem thêm: Bài 1: Tìm Khoảng Đơn Điệu Của Hàm Số : Lý Thuyết & Bài Tập (Kèm Tài Liệu)

Ví dụ 2: Tìm tham số m để phương trình log2(5x-1)log4(2.5x-2)=m có nghiệm thực x ≥ 1.