Phương trình lôgarit là phương trình tất cả chứa ẩn số trong biểu thức dưới vết lôgarit.
Bạn đang xem: Bài tập mũ và logarit có lời giải
2. Phương trình lôgarit cơ bản
• loga x = b ⇔ x = ab (0 a f(x) = loga g(x)
3. Quá trình giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
* cách 1. Tìm điều kiện của phương trình (nếu có).
* cách 2. Sử dụng định nghĩa và các đặc thù của lôgarit để lấy các lôgarit xuất hiện trong phương trình về thuộc cơ số.
* bước 3.Biến thay đổi phương trình về phương trình lôgarit cơ bản đã biết phương pháp giải.
* bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Ví dụ 1: Tính các giá trị sau:
Lời giải
Ví dụ 2:
Lời giải
Ví dụ 3: Giải phương trình
Lời giải
Tập nghiệm của phương trình đã cho rằng 1;2.
Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa
Phương trình loga
Ta đặt loga
Khử x trong hệ phương trình để thu được phương trình ẩn t, giải pt này kiếm tìm t, từ kia tìm x
Ví dụ 1: Giải những phương trình sau:
a) log3(x+1)=log2x.
b) log5x=log7(x+2).
Lời giải
Ví dụ 2:
Giải các phương trình sau:
Lời giải:
Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Giải phương trình: f
• cách 2: Tìm điều kiện của t (nếu có).
• bước 3: Đưa về giải phương trình f(t) = 0 đã biết phương pháp giải.
•Bước 4: nỗ lực vào (*) nhằm tìm x.
Một số chú ý quan trọng khi biến đổi
1) logaf2(x) = 2loga|f(x)|
2) logaf2k(x) = 2kloga|f(x)|
3) logaf2k+1(x) = (2k+1)logaf(x)
4) loga(f(x)g(x)) = loga|f(x)| + loga|g(x)|
Ví dụ 3:Giải phương trình
Lời giải:
Dạng 4: thực hiện tính đơn điệu để giải phương trình logarit
Giả sử phương trình tất cả dạng f(x) = g(x) (*)
• bước 1: Nhẩm được một nghiệm x0 của phương trình (thông thường lựa chọn nghiệm ở kề bên 0).
• cách 2: Xét các hàm số y = f(x)(C1) và y = g(x)(C2). Ta cần chứng tỏ một hàm đồng vươn lên là và một hàm nghịch biến hóa hoặc một hàm solo điệu với một hàm không đổi. Lúc đó (C1) với (C2) giao nhau trên một điểm duy nhất gồm hoành độ x0. Đó chính là nghiệm độc nhất vô nhị của phương trình (*).
Hoặc gửi phương trình về dạng f(x) = 0
• cách 1: Nhẩm được nhị nghiệm x1; x2 của phương trình (thường lựa chọn nghiệm ở kề bên 0).
• cách 2: Xét những hàm số y = f(x). Ta cần chứng minh f"(x) = 0 gồm nghiệm duy nhất với f"(x) đổi vết khi đi qua nghiệm đó. Từ phía trên suy ra phương trình f(x) = 0 có không ít nhất nhị nghiệm.
Hoặc:
• cách 1: biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v) .
• bước 2: minh chứng hàm f(x)là hàm đối kháng điệu, suy ra u = v
Ví dụ 1: Giải phương trình log3 (x+2) + log7 (3x+4) = 2
Lời giải
Phương trình tất cả một nghiệm x = 1
f(x) = log3(x+2) + log7(3x+4) ⇒ f"(x) > 0, đề xuất f(x) đồng biến trên tập xác minh ;g(x)=2là hàm hằng. Nên phương trình đang cho tất cả một nghiệm độc nhất vô nhị x = 1
Ví dụ 2: Giải phương trình log2 (x2-x-6)+x=log2 (x+2)+4
Lời giải
Phương trình (2)có một nghiệm x = 4
f(x) = log2(x-3), đồng biến trên tập xác định; g(x) = 4-x nghịch vươn lên là trên tập xác định. Yêu cầu phương trình sẽ cho có một nghiệm độc nhất vô nhị x = 4.
Ví dụ 3:
Giải phương trình
Lời giải
⇔ log2 (x2-x+1)-log2 (2x2-4x+3) = x2-3x+2 ⇔ log2 (x2-x+1) + (x2-x+1) = log2 (2x2-4x+3)+(2x2-4x+3) (3)
Xét hàm số f(t) = log2 t+t có f"(t) > 0 đề xuất hàm số đồng vươn lên là trên tập xác định. Lúc ấy có f(x2-x+1) = f(2x2-4x+3) ⇒ x2-x+1 = 2x2-4x+3 ⇔ x2-3x+2=0
Nên phương trình đang cho gồm tập nghiệm là 1;2
Dạng 5: biện pháp giải phương trình logarit cất tham số
♦ Dạng toán tìm m nhằm phương trình gồm số nghiệm cho trước:
• cách 1. Bóc tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f(x)=A(m).
• cách 2. Khảo sát điều tra sự biến thiên của hàm số f(x) bên trên D.
• cách 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A(m) để đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x).
• cách 4. Kết luận các giá trị của A(m) để phương trình f(x)=A(m) có nghiệm (hoặc tất cả k nghiệm) bên trên D.
♦ lưu giữ ý
• Nếu hàm số y=f(x) có giá trị lớn nhất và giá chỉ trị bé dại nhất trên D thì giá trị A(m) cần tìm là những m thỏa mãn:
• Nếu bài toán yêu thương cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định làm thế nào để cho đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại k điểm phân biệt.
Hoặc sử dụng đk có nghiệm của phương trình bậc nhì với để ý sau.
♦ nhắc lại: Phương trình bậc hai gồm hai nghiệm thỏa mãn
Hoặc áp dụng định lí hòn đảo về dấu tam thức bậc hai:
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm thông số thực m để phương trình: log23 x+log3x+m = 0 gồm nghiệm.
Lời giải
Tập xác định D=(0;+∞).
Đặt log3x=t. Lúc đó phương trình biến hóa t2+t+m=0 (*)
Phương trình vẫn cho bao gồm nghiệm lúc phương trình (*) bao gồm nghiệm: Δ=1-4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/4.
Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: m ≤ 1/4.
Xem thêm: Bài 1: Tìm Khoảng Đơn Điệu Của Hàm Số : Lý Thuyết & Bài Tập (Kèm Tài Liệu)
Ví dụ 2: Tìm thông số m để phương trình log2(5x-1)log4(2.5x-2)=m có nghiệm thực x ≥ 1.